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(1ページ目:全3問中1問~10問を表示) 国立 京都大学 2016年 第5問
$xy$平面上の$6$個の点$(0,\ 0)$,$(0,\ 1)$,$(1,\ 0)$,$(1,\ 1)$,$(2,\ 0)$,$(2,\ 1)$が図のように長さ$1$の線分で結ばれている.動点$\mathrm{X}$は,これらの点の上を次の規則に従って$1$秒ごとに移動する.
\mon[規則:] 動点$\mathrm{X}$は,そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに,等しい確率で移動する.
例えば,$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは,$(1,\ 0)$,$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する.また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは,$(0,\ 1)$,$(1,\ 0)$,$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する.
時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき,$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ.ただし$n$は$0$以上の整数とする.
(図は省略)
\mon[規則:] 動点$\mathrm{X}$は,そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに,等しい確率で移動する.
例えば,$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは,$(1,\ 0)$,$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する.また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは,$(0,\ 1)$,$(1,\ 0)$,$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する.
時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき,$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ.ただし$n$は$0$以上の整数とする.
(図は省略)
私立 ノートルダム清心女子大学 2014年 第3問
次の設問に答えなさい.
(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}
(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし,内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします.このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形(図中の斜線部分)の面積を求めなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}
(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}
(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし,内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします.このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形(図中の斜線部分)の面積を求めなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}
私立 ノートルダム清心女子大学 2013年 第2問
以下の問いに答えなさい.
(1)図の直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=1$とする.また,辺$\mathrm{BC}$を二等分する点を$\mathrm{D}$とし,$\angle \mathrm{BAD}$を$\alpha$,$\angle \mathrm{DAC}$を$\beta$とする.このとき$\sin \alpha$及び$\sin \beta$の値を求めなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](0,42)(0,25)%
\tenretu*{A(35,23)n;B(5,5)w;C(35,5)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\Kakukigou\B\A\D<Hankei=12mm,moziiti=16mm>{$\alpha$}%
\Kakukigou<2>\D\A\C<Hankei=8mm,moziiti=12mm>{$\beta$}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\A\D}%
\put(33,5){\drawline(0,0)(0,2)}%
\put(33,7){\drawline(0,0)(2,0)}%
}
\tenretu*{D(36,23);E(2,3);F(36,3);G(10,5.5);H(20,2)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\H{$\mathrm{D}$}
\end{zahyou*}
(2)半径$r (>0)$の円の円周の長さを$L$とし,面積を$S$とする.また,半径$r$の球の体積を$V$とする.このとき$x$についての$2$次方程式
\[ Vx^2+Sx-L=0 \]
の実数解がいくつあるか求めなさい.
(3)長さ$1$メートルの細いひもを$1$本だけ余すところなく用いて平面上に正三角形を$1$つ作ったとき,その正三角形の面積を求めなさい.また,同様にして正方形を$1$つ作ったとき,その正方形の面積を求めなさい.さらに,同様にして円を$1$つ作ったとき,その円の面積を求めなさい.ただし円周率を$\pi$とする.
(1)図の直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=1$とする.また,辺$\mathrm{BC}$を二等分する点を$\mathrm{D}$とし,$\angle \mathrm{BAD}$を$\alpha$,$\angle \mathrm{DAC}$を$\beta$とする.このとき$\sin \alpha$及び$\sin \beta$の値を求めなさい.
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](0,42)(0,25)%
\tenretu*{A(35,23)n;B(5,5)w;C(35,5)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\Kakukigou\B\A\D<Hankei=12mm,moziiti=16mm>{$\alpha$}%
\Kakukigou<2>\D\A\C<Hankei=8mm,moziiti=12mm>{$\beta$}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\A\D}%
\put(33,5){\drawline(0,0)(0,2)}%
\put(33,7){\drawline(0,0)(2,0)}%
}
\tenretu*{D(36,23);E(2,3);F(36,3);G(10,5.5);H(20,2)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\H{$\mathrm{D}$}
\end{zahyou*}
(2)半径$r (>0)$の円の円周の長さを$L$とし,面積を$S$とする.また,半径$r$の球の体積を$V$とする.このとき$x$についての$2$次方程式
\[ Vx^2+Sx-L=0 \]
の実数解がいくつあるか求めなさい.
(3)長さ$1$メートルの細いひもを$1$本だけ余すところなく用いて平面上に正三角形を$1$つ作ったとき,その正三角形の面積を求めなさい.また,同様にして正方形を$1$つ作ったとき,その正方形の面積を求めなさい.さらに,同様にして円を$1$つ作ったとき,その円の面積を求めなさい.ただし円周率を$\pi$とする.