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北海道大学 国立 北海道大学 2011年 第4問
$n$を2以上の自然数,$q$と$r$を自然数とする.1から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉,1から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する.これら白玉と赤玉を,1番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに,小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ,赤玉は$r$個ずつ配分しておく.たとえば,1番目の箱には番号1から$q$の白玉と番号1から$r$までの赤玉が入っている.これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する.1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱に移し,次に2番の箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す.同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に1個の玉を移して終了する.このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし,$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする.

(1)$a_3$と$a_3$を求めよ.
(2)$s_n$を求めよ.
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ.
(4)$a_n$を求めよ.
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「1番」とは・・・

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