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静岡大学 国立 静岡大学 2011年 第3問
座標平面上に点P$(0,\ 0)$,M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる.点Mを中心とし,$x$軸に接するように円を描き,接点をAとおく.Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする.円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし,線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる.次の問いに答えよ.

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする.$t$の取りうる値の範囲を求めよ.
(2)点Pの軌跡を$C$とする.$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
静岡大学 国立 静岡大学 2011年 第3問
座標平面上に点P$(0,\ 0)$,M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる.点Mを中心とし,$x$軸に接するように円を描き,接点をAとおく.Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする.円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし,線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる.次の問いに答えよ.

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする.$t$の取りうる値の範囲を求めよ.
(2)点Pの軌跡を$C$とする.曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき,直線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
名古屋大学 国立 名古屋大学 2010年 第2問
関数$f(x) = (x^2-x)e^{-x}$について,以下の問いに答えよ.必要ならば,任意の自然数$n$に対して
\[ \lim_{x \to +\infty} x^ne^{-x} = 0 \]
が成り立つことを用いてよい.

(1)$y = f(x)$のグラフの変曲点を求め,グラフの概形をかけ.
(2)$a > 0$とする.点$(0,\ a)$を通る$y = f(x)$のグラフの接線が1本だけ存在するような$a$の値を求めよ.また,$a$がその値をとるとき,$y = f(x)$のグラフ,その接線および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
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