方程式$x^3-1=0$の解のうち，1と異なるものの1つを$\omega$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．

方程式$x^3-1=0$の解のうち，1と異なるものの1つを$\omega$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に関する以下の問に答えよ．$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$，$O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とおく．

(1)$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき，$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ．$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき，$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ．その各々の組に対し，それを与える$A$の例を1つずつ記せ．

10枚のカードに0から9までの数字が1つずつ記入してある．この中から1枚のカードを取り出し，その数字を記録してもとに戻す．この試行を4回繰り返すとき，記録された4つの数字について次の問いに答えよ．

(1)1種類の数字からなる確率，すなわち4つの数字がすべて同じになる確率を求めよ．
(2)2種類の数字からなる確率を求めよ．
(3)3種類の数字からなる確率を求めよ．

$0<k<1$である定数$k$について，
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\cos x -k \nonumber \\
& & g(x)=\sin x -k \tan x \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．

(1)$\displaystyle 0<x < \frac{\pi}{2}$で，方程式$f(x)=0$は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(2)$\displaystyle 0<x < \frac{\pi}{2}$で，方程式$g(x)=0$は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(3)(2)での実数解を$\alpha$とする．定積分
\[ \int_0^\alpha g(x) \, dx \]
を$k$の式で表しなさい．

$n$は2以上の自然数とする．1つの袋と1つの箱がある．袋には白玉3個と赤玉2個が入っており，箱には何も入っていない．次の操作を考える．

袋から玉を1個取り出し，白玉なら袋に戻し，赤玉なら箱に入れる．

この操作を$n$回繰り返す．$n$回目の操作の後，箱に入っている赤玉の個数を$X$とする．

(1)$k$を$n$以下の自然数とする．$k$回目の操作では赤玉を取り出し$k$回目以外の$n-1$回の操作では白玉を取り出す確率を$n$と$k$を用いて表せ．次に，$X=1$である確率$p_n$を求めよ．
(2)$X=2$である確率$q_n$を求めよ．
(3)$X$の期待値$E_n$を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\log (2-E_n)$を求めよ．

次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．

次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．

(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．