「1つ」について
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（5ページ目：全73問中41問～50問を表示）
国立 宮崎大学 2011年 第1問次の各問に答えよ．
(1)次の各命題について，真であれば証明し，偽であれば反例を1つあげよ．
\mon[(A)] 実数$a$について，$\sqrt{a^2}$と$a$は等しい．
\mon[(B)] 正の実数$b$と$c$について，$\sqrt[3]{b+c}$と$\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$は等しくない．
\mon[(C)] 実数$x$について，$|2x-1|=x$ならば$x=1$である．
(2)$\alpha=(\sqrt{3}+1)^x,\ \beta=(\sqrt{3}-1)^x$とするとき，$\alpha\beta=7$となるような$x$の値を求めよ．
(1)次の各命題について，真であれば証明し，偽であれば反例を1つあげよ．
\mon[(A)] 実数$a$について，$\sqrt{a^2}$と$a$は等しい．
\mon[(B)] 正の実数$b$と$c$について，$\sqrt[3]{b+c}$と$\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$は等しくない．
\mon[(C)] 実数$x$について，$|2x-1|=x$ならば$x=1$である．
(2)$\alpha=(\sqrt{3}+1)^x,\ \beta=(\sqrt{3}-1)^x$とするとき，$\alpha\beta=7$となるような$x$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第2問100点と書かれたカードが4枚，10点と書かれたカードが2枚入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第3問100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第3問100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
国立 山口大学 2011年 第3問1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある．6枚のカードの中から3枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$M$とし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数を$N$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$M+N$が3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．
(1)$M+N$が3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．
国立 宮崎大学 2011年 第5問方程式$\tan x=x$について，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，不等式$\sin x <x < \tan x$が成り立つことを用いてもよい．
(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．
(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．
国立 京都教育大学 2011年 第6問$-1 \leqq a \leqq 1$として，次の問に答えよ．
(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．
(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．
国立 宮城教育大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \tan \alpha=a,\ \tan \beta=b \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，$\cos (2 \alpha+\beta)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．
(1)$\displaystyle \tan \alpha=a,\ \tan \beta=b \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，$\cos (2 \alpha+\beta)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．
国立 宮城教育大学 2011年 第3問$n$を1以上の整数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n+1$に対して，$xy$平面上で，点$(0,\ k)$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell_k$とし，点$(k,\ 0)$を通り$y$軸に平行な直線を$m_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線
\[ \ell_1,\ \ell_2,\ \cdots,\ \ell_n,\ \ell_{n+1} \]
から相異なる2本を選び，直線
\[ m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_n,\ m_{n+1} \]
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考えた長方形のうちから1つとるとき，それが正方形である確率を求めよ．
(1)直線
\[ \ell_1,\ \ell_2,\ \cdots,\ \ell_n,\ \ell_{n+1} \]
から相異なる2本を選び，直線
\[ m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_n,\ m_{n+1} \]
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考えた長方形のうちから1つとるとき，それが正方形である確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第2問表が出る確率が$p \ (0<p<1)$のコイン3枚を同時に投げたとき，表と裏が出る事象を$A$，少なくとも1つが表である事象を$B$とする．次の問いに答えよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)事象$A \cap B,\ A \cup B$および$\overline{A} \cap B$の確率を求めよ．
(2)$(A \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．
(3)表1枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．