1つのさいころを4回投げ，$i$回目($i=1,\ 2,\ 3,\ 4$)に出る目を$a_i$とする．また，出る目の種類を数え，その数を$m$とする．例えば，$a_1=2,\ a_2=3,\ a_3=2,\ a_4=5$のとき，$2,\ 3,\ 5$の3種類の目が出たので$m=3$とする．次に答えよ．

(1)$m=1$となる場合は何通りあるか．
(2)$m=2$となる確率を求めよ．
(3)$m$の期待値を求めよ．
(4)$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4$となる確率を求めよ．

$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を負でない実数を成分とする行列とし，$C$を原点を中心とする半径5の円とする．円$C$上の任意の点$(x,\ y)$に対して$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$で与えられる$X,\ Y$は常に$9X^2-16Y^2=0$をみたしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr)$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$c=0$のとき，$b$を$d$で表せ．
(3)$A \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr)$となる$A$を1つ求めよ．

$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．

$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．

$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．

定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．

5人の生徒が袋を1つずつ持っている．どの生徒の袋の中にも，赤球，青球，白球がそれぞれ1個ずつ計3個入っている．\\
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数を$k$とする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)$k=2$である確率を求めよ．
(3)$k=1$である確率を求めよ．
(4)$k$の期待値を求めよ．

$n$を自然数とする．1つの袋に白球が$n$個と赤球が2個，合わせて$n+2$個の球が入っている．この袋から，$n+1$個の球を1個ずつ取り出し，左から1列に順に並べる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)並べた列に赤球が2個入っている確率を，$n$を用いて表せ．
(2)2個の赤球の間にある白球の個数を$k$とする．ただし，並べた列に赤球が2個入っていない場合は，$k=0$とする．このとき，$k$の期待値が1以上となる最小の$n$の値を求めよ．

5人の生徒が袋を1つずつ持っている．どの生徒の袋の中にも，赤球，青球，白球がそれぞれ1個ずつ計3個入っている．\\
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数を$k$とする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)$k=2$である確率を求めよ．
(3)$k=1$である確率を求めよ．
(4)$k$の期待値を求めよ．

$n$を自然数とする．1つの袋に白球が$n$個と赤球が2個，合わせて$n+2$個の球が入っている．この袋から，$n+1$個の球を1個ずつ取り出し，左から1列に順に並べる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)並べた列に赤球が2個入っている確率を，$n$を用いて表せ．
(2)2個の赤球の間にある白球の個数を$k$とする．ただし，並べた列に赤球が2個入っていない場合は，$k=0$とする．このとき，$k$の期待値が1以上となる最小の$n$の値を求めよ．