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国立 宮崎大学 2011年 第2問100点と書かれたカードが4枚，10点と書かれたカードが2枚入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第3問100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第3問100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数を$k$とする．この$k$枚のカードの合計点を$S$とする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
国立 横浜国立大学 2010年 第2問1個のいびつなさいころがある．$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{p}{2}$であり，$5,\ 6$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1-2p}{2}$である．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．このさいころを投げて，$xy$平面上の点Qを次のように動かす．
\mon[(i)] 1または2の目が出たときには，Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには，Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには，Qを動かさない．
Qは最初原点$(0,\ 0)$にある．このさいころを$(n+1)$回投げ，Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ．
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ．
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ，$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする．得点の期待値を求めよ．
\mon[(i)] 1または2の目が出たときには，Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには，Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには，Qを動かさない．
Qは最初原点$(0,\ 0)$にある．このさいころを$(n+1)$回投げ，Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ．
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ．
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ，$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする．得点の期待値を求めよ．
国立 大分大学 2010年 第1問円周率$\pi$に関して次の不等式が成立することを証明せよ．ただし，数値$\pi=3.141592 \cdots$を使用して直接比較する解答は0点とする．
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
国立 小樽商科大学 2010年 第3問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[ ]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$．
(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[ ]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$．