$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$とおく．平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,\ y)$を$\overrightarrow{w}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{b}$と表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を$x,\ y$で表せ．
(2)$(1)$の$k,\ l$に対して，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき，$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列$PQ$，$QP$，$P^2$，$Q^2$を求めよ．
(4)行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき，自然数$n$に対して$R^n$を類推し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．ただし，$s,\ t$は実数とする．

自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を$f_1(x)=x$，$n \geqq 2$のとき$f_n(x)=\displaystyle \int_0^x tf_{n-1}(x-t) \, dt$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$を類推し，それが正しいことを証明せよ．