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名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2012年 第3問
$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$とおく.平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,\ y)$を$\overrightarrow{w}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{b}$と表すとき,次の問いに答えよ.

(1)$k,\ l$を$x,\ y$で表せ.
(2)$(1)$の$k,\ l$に対して,点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$,点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき,$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ.
(3)行列$PQ$,$QP$,$P^2$,$Q^2$を求めよ.
(4)行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき,自然数$n$に対して$R^n$を類推し,それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ.ただし,$s,\ t$は実数とする.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2011年 第4問
自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を$f_1(x)=x$,$n \geqq 2$のとき$f_n(x)=\displaystyle \int_0^x tf_{n-1}(x-t) \, dt$で定める.次の問いに答えよ.

(1)$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ.
(2)$f_n(x)$を類推し,それが正しいことを証明せよ.
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「類推」とは・・・

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