原点$\mathrm{O}$の座標平面上で点$\mathrm{A}(a,\ 0)$が与えられている．ただし$0<a<1$とする．また，点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=1 (y>0)$上を以下の条件をみたしながら動くものとする．

（条件）三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2 \leqq 1$をみたす領域内にある．

点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき，三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ．

関数$f(x)=x^3-12x$について，次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(4)$x \geqq 0$の表す領域において，曲線$y=f(x)$，$y$軸，および$(3)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

正の実数$a$に対して，座標平面上で次の放物線を考える．
\[ C:y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a} \]
$a$が正の実数全体を動くとき，$C$の通過する領域を図示せよ．

$\ell$を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の$3$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$で定まる円$C_1$，$C_2$を考える．

(i) 円$C_1$，$C_2$は$2$つの不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$で定まる領域に含まれる．
(ii) 円$C_1$，$C_2$は直線$\ell$と同一点で接する．
(iii) 円$C_1$は$x$軸と点$(1,\ 0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．

円$C_1$の半径を$r_1$，円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$\ell$の方程式と，その最小値を求めよ．
（図は省略）

$2$つの関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{\pi}{8} \right)$と$y=\sin 2x$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分で囲まれる領域を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$xy$平面において，$3$次関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とし，不等式
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．

(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

実数$a$に対し，$xy$平面上の放物線$C:y=(x-a)^2-2a^2+1$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$a$がすべての実数を動くとき，$C$が通過する領域を求め，図示せよ．
(2)$a$が$-1 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くとき，$C$が通過する領域を求め，図示せよ．

$C_1$，$C_2$をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする．

$C_1:y=-x^2+2x,\quad 0 \leqq x \leqq 2$
$C_2:y=-x^2-2x,\quad -2 \leqq x \leqq 0$

また，$a$を実数とし，直線$y=a(x+4)$を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$と$C_1$が異なる$2$つの共有点をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
以下，$a$が$(1)$の条件を満たすとする．このとき，$\ell$と$C_1$で囲まれた領域の面積を$S_1$，$x$軸と$C_2$で囲まれた領域で$\ell$の下側にある部分の面積を$S_2$とする．
(2)$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1=S_2$を満たす実数$a$が$\displaystyle 0<a<\frac{1}{5}$の範囲に存在することを示せ．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標および$y$座標がともに整数であるとき，$\mathrm{P}$を格子点とよぶ．また，自然数$n$に対して，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq n \\
0 \leqq y \leqq n
\end{array} \right. \]
の表す領域を$R$とする．$R$内の$4$つの格子点を頂点とする正方形の個数を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b) (a>0,\ b>0)$を結ぶ線分を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が第$1$象限に含まれるとき，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$k$は自然数とする．$4$点$(0,\ 0)$，$(k,\ 0)$，$(k,\ k)$，$(0,\ k)$を頂点とする正方形を$E$とする．$E$の辺上の格子点（$E$の頂点を含む）を$4$つの頂点とする正方形の個数を求めよ．
(3)$q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(4)$q_n$を求めよ．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標および$y$座標がともに整数であるとき，$\mathrm{P}$を格子点とよぶ．また，自然数$n$に対して，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq n \\
0 \leqq y \leqq n
\end{array} \right. \]
の表す領域を$R$とする．$R$内の$4$つの格子点を頂点とする正方形の個数を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b) (a>0,\ b>0)$を結ぶ線分を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が第$1$象限に含まれるとき，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$k$は自然数とする．$4$点$(0,\ 0)$，$(k,\ 0)$，$(k,\ k)$，$(0,\ k)$を頂点とする正方形を$E$とする．$E$の辺上の格子点（$E$の頂点を含む）を$4$つの頂点とする正方形の個数を求めよ．
(3)$q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(4)$q_n$を求めよ．