$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$において，直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，曲線$\displaystyle y=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$D$は境界をすべて含む．このとき，次の各問に答えよ．

(1)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell:y=ax+b (a>0)$と図形$D$が共有点をもつとき，$a,\ b$のみたす不等式を求めよ．また，それらの不等式が表す領域を$a$-$b$平面上に図示せよ．
(3)図形$D$の面積$S$が，直線$y=4x+b$によって$2$等分されるような定数$b$の値を求めよ．

座標平面上に$(3,\ 2)$を中心とし，半径$1$の円$\mathrm{O}_1$がある．円$\mathrm{O}_1$に外接し，かつ$x$軸に接する円$\mathrm{O}$の円周上のすべての点が$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たす領域にあるとする．また，円$\mathrm{O}$の中心の座標を$(p,\ q)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$q$を$p$で表せ．
(2)$x$軸，$y$軸に接し，円$\mathrm{O}_1$に外接する円の半径を求めよ．
(3)$p$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$q$のとりうる値の範囲を求めよ．

$a$を正の実数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(1,\ a)$における$C$の接線と$\mathrm{P}$で垂直に交わる直線を$\ell$とする．$x \geqq 0$の領域で，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$x$軸，$C$および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$S_1$を$a$で表せ．
(3)$S_1$が最小値をとるとき，$S_2$の値を求めよ．

平面上で連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \leqq 16 \\
y \geqq 4x^2 \\
y \geqq -x^2+2x+3
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の表す領域の面積を求めよ．

$x,\ y$の動く範囲を$0 \leqq x \leqq 2\pi$，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式
\[ \sin x+\sin y \geqq \cos x+\cos y \]
の表す領域を平面上に図示せよ．

$2$次関数$f(x)=x^2+2x+2,\ g(x)=x^2-2x+4,\ h(x)=2x^2$について次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)連立不等式$y \leqq f(x)$，$y \leqq g(x)$，$y \geqq h(x)$の表す領域を$D$とする．$D$の面積を$a+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}$（ただし，$a,\ b,\ c$は有理数）とするとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．

連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
0 \leqq y \leqq 1 & & \cdots\cdots① \\
\log_{\frac{1}{2}}(2x^2+3x-2) \geqq \log_{\frac{1}{2}}(x^2+2x) & & \cdots\cdots② \\
y^2 \leqq 2x-1 & & \cdots\cdots③ \\
4x+y-3 \geqq 0 & & \cdots\cdots④
\end{array} \right. \]
が表す領域$D$を考える．

(1)$②$の解は，$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x \leqq [　]$である．
(2)放物線$y^2=2x-1$と直線$4x+y-3=0$の$2$交点のうち，$y$座標が正となる交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(3)領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

$a$は正の定数で，$a>1$とする．次の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x-a \\
y \leqq x(a-x)
\end{array} \right. \]
を満たす領域$D$を図示せよ．
(2)$(1)$で定まる領域$D$内の点$(x,\ y)$について，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

$xy$平面で，次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ D:|x|+2 |y| \leqq 60 \]
以下の設問に答えよ．

(1)$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(2)次の条件を満たす整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．
\[ m+2n \leqq 60,\quad m \geqq 1,\quad n \geqq 1 \]
(3)$D$に含まれる整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．