下図のように，円と$2$つの直線によって指定される領域がある．
（図は省略）

(1)斜線の領域を表す不等式を求めなさい．ただし，境界線を含むものとする．
(2)斜線の領域の面積$S$を求めなさい．

$f(x)=x^2-ax+36$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$a=[][]$のとき，$x$が$0$から$2$まで変化する場合の$f(x)$の平均変化率が$-16$となる．また，このとき$f^\prime(u)=0$を満たす値$u$に対して$f(u)=-[][]$となる．
(2)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=0$となる．
(3)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx=12a$となる．
(4)$y=f(x)$のグラフに対し，原点を通り，$x>0$の領域でこのグラフに接する接線$\ell$を引く．$a=[][]$のとき，$\ell$とこのグラフとの接点の$y$座標が$12$となる．

放物線$y=x^2$を$C$とおき，$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$（ただし$a>0$）と点$\mathrm{B}(0,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．$C$と$\ell$で囲まれた領域の$x \geqq 0$の部分の面積を$f(a)$とし，$C$と$x$軸と直線$x=a$で囲まれた領域の面積を$g(a)$とする．$f(a)-g(a)$の最大値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x^2}$の$x>0$の部分を$C_1$とする．また，原点と$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p^2} \right)$を通る放物線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が点$\mathrm{P}$において同一の直線に接するとき，次の問に答えよ．

(1)$C_2$の式を$p$を用いて表せ．
(2)$C_2$と$x$軸の交点のうち，原点でない方を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線と，$C_1,\ C_2$で囲まれた領域の面積を求めよ．

$xy$平面において，不等式$x^2+y^2 \leqq 1$の表す領域を$D_1$とし，整数$k$に対して連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 2x+k+2 \\
y \geqq 2x+k-5
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D_2$とする．

(1)円$x^2+y^2=1$の接線で，傾きが$2$のものをすべて求めよ．
(2)領域$D_1$が領域$D_2$に含まれるような$k$をすべて求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)関数$y=x^{\sqrt{x}}$（ただし，$x>0$）について，導関数$y^\prime$を求め，$y^\prime=0$となる$x$の値を求めなさい．
(2)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \leqq y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
\displaystyle\frac{1}{4}y^2 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{1}{2}y^2 \\
x>0 \\
y>0
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}
で表される領域の面積を求めなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)$|x+y+1| \leqq 3$で定まる座標平面の領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)方程式$\displaystyle y= \left( -1+\frac{1}{a} \right)x$で与えられる直線$\ell$と，(1)で定めた領域$D$の共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線$\ell$は，どのような方程式で与えられるか．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2-1 \leqq 0 \\
x+y-1 \leqq 0 \\
x+2y-1 \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．また，その結果を用いて，点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くときの$2x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．

$y=x(x-2a) (a>0)$で表される放物線$C$がある．$C$の頂点$\mathrm{P}$を通る$y$軸に平行な直線と，$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$C$上を原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$まで動く点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$を通り$x$軸に平行な直線と線分$\mathrm{PQ}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)線分$\mathrm{OQ}$，線分$\mathrm{PQ}$および$C$で囲まれた領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OR}$と$C$で囲まれた領域の面積と，線分$\mathrm{RH}$，線分$\mathrm{PH}$および$C$で囲まれた領域の面積との和を$T$とするとき，$T$を最小にする$\mathrm{R}$の座標と$T$の最小値を$a$を用いて表せ．

放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれる領域の面積$S$が$\displaystyle S=\frac{(a-b)^3}{6}$で表されることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{4}{3}$となるように放物線上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．