$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式
\[ x^2+(a-1)x+b+1 = 0 \]
が実数解を持ち、すべての解の絶対値が$1$以下になっているとき，次の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が存在する領域を$D$とする．$D$に含まれる
$a$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$，
$b$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(2)領域$D$の面積は$[オ]$である．

$k$を正の定数とする．$2$つの放物線
\[ \begin{array}{ll}
y=x^2 & \cdots\cdots① \\
y=x^2+k & \cdots\cdots②
\end{array} \]
を考える．次の問に答えよ．

(1)放物線$②$上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
(2)放物線$①$と接線$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$①$と接線$\ell$で囲まれた領域$A$の面積を求めよ．
(4)不等式$x \geqq p$の表す領域と領域$A$の共通部分の面積を求めよ．

次の各問の$[　]$に入る数値を書け．

(1)$x^{\log_5 x} = 25x$を満たす$x$は，大きい方から順に$x=[$1$]$と，$x=[$2$]$である．
(2)$y=x^3-ax^2+x+4$と$y=x$が，異なる$2$点のみを共有するとき，$a=[$3$]$であり，$x>0$の範囲で，$x=[$4$]$のとき共有点を持つ．
(3)放物線$\displaystyle C_1\ :\ y=\frac{x^2}{2}$と放物線$\displaystyle C_2\ :\ y=\frac{x^2}{2}-2x+4$にともに接する直線を$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，
$[$5$]$であり，$C_1,\ C_2,\ \ell$で囲まれた領域の面積は$[$6$]$である．

次の各設問の$[12]$から$[15]$までの空欄に適するものを書け．また，$[　]$には数字を入れよ．

$xy$平面上で連立不等式$3x-y+1 \geqq 0,\ x+3y-3 \geqq 0,\ 2x+y-6 \leqq 0$の表す領域を$D$とする．
(1)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$3x+2y$の最大値は$[12]$であり，最小値は$[13]$である．
(2)領域$D$は三角形である．この三角形の外接円の中心の座標は$([14],\ [15])$であり，半径は$[　]$である．

連立不等式
\[ x+2y \leqq 2a^2+a+3,\quad x \geqq a+1,\quad y \geqq a^2 \]
の表す領域を$D$とおく．ただし，$a$は実数の定数とする．また，点$(x,\ y)$が$D$上を動くときの，$x+y$の最小値を$m$，最大値を$M$とおく．

(1)$a=1$のとき，$D$を図示せよ．さらに，そのときの$m$と$M$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle m=\frac{3}{2}$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$M$の値が最小となるような$a$の値と，そのときの$M$の値を求めよ．

$a$は$\displaystyle a>\frac{1}{2}$を満たす定数とする．座標平面上の半径$R$の円$C_1:x^2+(y-a)^2=R^2$は，$y>0$の表す領域にある．円$C_1$が放物線$y=x^2$と共有する点は$2$点のみである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$y$座標および$a$を，$R$を用いて表せ．
(2)円$C_1$と放物線$y=x^2$の共有点における放物線の$2$つの接線のうち傾きが正のものを$\ell$とする．$\ell$の式を$R$を用いて表せ．
(3)点$(0,\ -a)$を中心とする半径$r$の円$C_2$が直線$\ell$と接するとき，$r$を$R$を用いて表せ．

次の空欄$[ア]$から$[ク]$に当てはまるものをそれぞれ答えよ．

放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{x^2}{8}+4$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{4}=2$を考える．

$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$での接線の方程式は
\[ y= [ア]x-[イ] \]
である．$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$における接線が同時に$C_2$の接線でもあるような$a$の値は全部で$4$個ある．それらを小さい方から順に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とすれば，$a_1=[ウ],\ a_2=[エ]$である．$C_2$の囲む図形の面積は$[オ]$である．点$(4a_1,\ 2{a_1}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=f(x)$，点$(4a_4,\ 2{a_4}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=g(x)$とする．このとき，$y=g(x)$と$C_2$の接点は$([カ],\ [キ])$である．$6$つの不等式

$\displaystyle y \geqq f(x),\quad y \geqq g(x),\quad x^2+\frac{y^2}{4} \geqq 2,\quad y \leqq \frac{x^2}{8}+4,$
$4a_1 \leqq x \leqq 4a_4,\quad [キ] \leqq y$

を同時にみたす領域の面積は$[ク]-3\pi$である．

$2$次関数$F(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$F(x)=0$は$2$つの解$2,\ -3$を持ち，$F(5)=12$を満たす．このとき，$F(x)$を求めよ．
(2)(1)で求めた$F(x)$が関数$f(x)$を用いて
\[ F(x)=2 \int_a^x f(t) \, dt \]
と表されるとき，関数$f(x)$と定数$a$の値をすべて求めよ．
(3)座標平面において，曲線$y=F(x)$と曲線$y=f(x)$とで囲まれる領域の面積を求めよ．

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$x^3-4x^2+ax+b=0$の$1$つの解が$1-2i$であるとき，実数解は$[ア]$であり，$a=[イ]$，$b=[ウ]$である．ただし，定数$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて$2$回振り，最初に出た目が$a$，次に出た目が$b$ならば座標平面上に直線$\ell:y=ax-b$を描く．この試行において，直線$\ell$が放物線$y=x^2$と相異なる$2$点で交わる確率は$[エ]$である．
(3)不等式$x^2+y^2+6x+4y-12 \leqq 0$の表す領域の面積は$[オ]$である．
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$であるとき，$x^3+y^3-2xy^2=[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，$\sqrt{3}\cos \theta-\sin \theta=r \sin (\theta +\alpha)$の形に変形すると，$r=[キ]$，$\alpha=[ク]$である．ただし，$0 \leqq \alpha < 2\pi$とする．
(6)実数からなる数列$\{a_n\}$が$a_{n+1}^3=2a_n^2,\ a_1=4$を満たすとき，$\log_2a_n=[ケ]$である．
(7)図のように東西$6$本，南北$6$本の道路で区画された場所がある．南西の端の地点$\mathrm{A}$から北東の端の地点$\mathrm{B}$へ行く最短ルートは$[コ]$通りある．
（図は省略）
(8)$3$次関数$f(x)=x^3-3a^2x+b (a>0)$が極大値$13$と極小値$-19$を持つならば$a=[サ]$，$b=[シ]$である．

曲線$y=x^3-x$を$C_1$とし，放物線$y=x^2+ax+b$を$C_2$とする．また，放物線$C_2$の頂点の座標は$(t,\ -t^2)$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3-x$の極値を求めよ．
(2)$a$を$t$で表せ．
(3)曲線$C_1$と放物線$C_2$が異なる共有点をちょうど$2$個もつ$t$の値が$2$つある．それらの値$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$を求めよ．
(4)$t=t_1$のとき，曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた領域の面積を求めよ．