$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a+3,\ b)$，$\mathrm{C}(a+1,\ b+2)$がある．不等式$y \geqq x^2$の表す領域を$D$，不等式$y \leqq x^2$の表す領域を$E$とする．

(1)点$\mathrm{C}$が領域$D$に含まれ，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が領域$E$に含まれるような$a,\ b$の条件を連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で求めた条件を満たす点$(a,\ b)$の領域$F$を$ab$平面上に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$F$の面積を求めよ．

$xyz$空間内の平面$z=2$上に点Pがあり，平面$z=1$上に点Qがある．直線PQと$xy$平面の交点をRとする．

(1)P$(0,\ 0,\ 2)$とする．点Qが平面$z=1$上で点$(0,\ 0,\ 1)$を中心とする半径1の円周上を動くとき，点Rの軌跡の方程式を求めよ．
(2)平面$z=1$上に4点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(1,\ -1,\ 1)$，C$(-1,\ -1,\ 1)$，D$(-1,\ 1,\ 1)$をとる．点Pが平面$z=2$上で点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周上を動き，点Qが正方形ABCDの周上を動くとき，点Rが動きうる領域を$xy$平面上に図示し，その面積を求めよ．

$a$を正の実数とし，$x,\ y$に関する次の不等式を考える．
\[ \begin{array}{ll}
3y \geqq 5x & \cdots\cdots① \\
4y \geqq 7a & \cdots\cdots② \\
x-y \geqq 3-a & \cdots\cdots③
\end{array} \]

(1)$①,\ ②$を同時に満たす点$(x,\ y)$のなす領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$①,\ ②,\ ③$を同時に満たす実数の組$(x,\ y)$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

$xy$平面上で考える．不等式$y < -x^2+16$の表す領域を$D$とし，不等式$|x-1|+|y| \leqq 1$の表す領域を$E$とする．このとき，以
下の問いに答えよ．

(1)領域$D$と領域$E$をそれぞれ図示せよ．
(2)A$(a,\ b)$を領域$D$に属する点とする．点A$(a,\ b)$を通り傾きが$-2a$の直線と放物線$y=-x^2+16$で囲まれた部分の面積を$S(a,\ b)$とする．$S(a,\ b)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点A$(a,\ b)$が領域$E$を動くとき，$S(a,\ b)$の最大値を求めよ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$q$である硬貨を用意する．ここで$p,\ q$は正の定数で，$p+q=1$を満たすとする．座標平面における領域$D$を
\[ D= \{ (x,\ y) \ | \ 0 \leqq x \leqq 2,\ 0 \leqq y \leqq 2\} \]
とし，$D$上を動く点$\mathrm{Q}$を考える．$\mathrm{Q}$は点$(0,\ 0)$から出発し，硬貨を投げて表が出れば$x$軸方向に$+1$だけ進み，裏が出れば$y$軸方向に$+1$だけ進む．なお，この規則で$D$上を進めないときには，その回はその点にとどまるものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)硬貨を$4$回投げて$\mathrm{Q}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率$P_4$を求めよ．
(2)硬貨を$5$回投げて$5$回目に初めて$\mathrm{Q}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率$P_5$を求めよ．
(3)$\displaystyle P_5 = \frac{1}{9}$のとき，$p$の値を求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上の$2$曲線$C_1:y=e^{x^2},\ C_2:y=ax^2$を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty$であることを用いてもよい．

(1)$t>0$の範囲で，関数$\displaystyle f(t)=\frac{e^t}{t}$の最小値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

放物線$y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_a$とする．

(1)直線$\ell_a$が不等式
\[ y> -x^2+2x-5 \]
の表す領域に含まれるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，直線$\ell_a$が通らない点$(x,\ y)$全体の領域$D$を図示せよ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(y-x^2)(y+x^2-2x+5) \leqq 0 \\
y(y+5) \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$E$とする．$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．

座標平面上の放物線$C$を$y=x^2+1$で定める．$s,\ t$は実数とし$t<0$を満たすとする．点$(s,\ t)$から放物線$C$へ引いた接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$a$を正の実数とする．放物線$C$と直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる領域の面積が$a$となる$(s,\ t)$を全て求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標の値$x$と$y$がともに整数であるとき，点$\mathrm{P}$を平面上の格子点と呼ぶ．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)不等式$|x|+|y|<3$の表す領域$A$を図示しなさい．また，領域$A$内の格子点の個数を求めなさい．
(2)不等式$x^2+y \leqq 2$の表す領域$B$を図示しなさい．また，領域$B$内の格子点の個数を求めなさい．
(3)$2$つの不等式$x^2 \leqq a^2,\ y^2 \leqq a^2$の表す領域を$C$とする．領域$A$内の格子点全体から領域$B$内のすべての格子点を除いた集合を$D$とする．領域$C$と集合$D$との共通部分が空集合となる$a$の条件を求めなさい．

$\log_x y + 2\log_y x \leqq 3$を満たす点$(x,\ y)$の存在する領域を図示せよ．