$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$で表される放物線$P$と，$x^2+(y-k)^2=r^2 (r>0)$で表される円$Q$がある．放物線$P$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{2} \right)$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$における放物線$P$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で円$Q$に接するとき，$k$と$r$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$k$と$r$において，次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+(y-k)^2 \geqq r^2 \\
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}

$y=|x^2-k|$と，$x$軸および，直線$x=2$，$x=-2$で囲まれた領域の面積$S$を求めなさい．

曲線$y=e^{2x}$を$C$とする．$C$の接線で原点を通るものを$\ell_1$とし，$C$と$\ell_1$の接点$\mathrm{P}$における$C$の法線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_1$の方程式，および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell_2$の方程式，および直線$\ell_2$と$y$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)次の問いに答えよ．

(i) 部分積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$，$\displaystyle \int (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(ii) 曲線$C$，直線$\ell_2$および$y$軸で囲まれる領域を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

座標平面の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲において，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\sin 2x$の交点の座標を$(a,\ b)$とし，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\tan x$の交点の座標を$(c,\ d)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$および$d^2$の値を求めよ．
(2)$c>a$であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4},\quad \cos x \leqq y \leqq \sin 2x,\quad y \geqq \tan x \]
の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

不等式$|\log_5x|+\log_5y \leqq 1$の表す座標平面上の領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$に含まれる点のうち，$x$座標と$y$座標がともに整数となるものは全部でいくつあるか答えよ．

不等式に関する以下の問に答えよ．

(1)座標平面上で，不等式$x^2+6x+y^2+2y+6 \leqq 0$と$y \geqq -2x-3$の両方を満たす点$(x,\ y)$の存在する領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき，$x$と$y$は不等式$x^2+y^2 \leqq 4$を満たすことを証明せよ．

$a$は定数とする．$xy$平面上で連立不等式$y+ax-5 \leqq 0$，$0 \leqq x \leqq 2$，$0 \leqq y \leqq 3$が表す領域の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=2$のとき，$S$の値を求めよ．
(2)$a=3$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$a \geqq 1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

以下の各問いに答えよ．

(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．

(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．

(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．

(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える．
\[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \]
直線$\ell$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．

座標平面上で2つの不等式
\[ y \geqq \frac{1}{2}x^2,\quad \frac{x^2}{4}+4y^2 \leqq \frac{1}{8} \]
によって定まる領域を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_1$とし，$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_2$とする．

(1)$V_1$と$V_2$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle\frac{V_2}{V_1}$の値と1の大小を判定せよ．