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国立 広島大学 2013年 第2問座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
国立 広島大学 2013年 第5問座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
国立 新潟大学 2013年 第1問正の実数$a,\ b$に対して，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+y \leqq 6 \\
0 \leqq x \leqq b \\
0 \leqq y
\end{array}
\right. \]
次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a=1,\ b=9$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$2x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$ab=9$であり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くときの$2x+y$の最大値が$16$であるとする．このとき，$a,\ b$の値を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+y \leqq 6 \\
0 \leqq x \leqq b \\
0 \leqq y
\end{array}
\right. \]
次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a=1,\ b=9$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$2x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$ab=9$であり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くときの$2x+y$の最大値が$16$であるとする．このとき，$a,\ b$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2013年 第1問正の実数$a,\ b$に対して，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+y \leqq 6 \\
0 \leqq x \leqq b \\
0 \leqq y
\end{array}
\right. \]
次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=6$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$3x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$a=5$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$4x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+y \leqq 6 \\
0 \leqq x \leqq b \\
0 \leqq y
\end{array}
\right. \]
次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=6$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$3x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$a=5$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$4x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
国立 信州大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)放物線$C:y=x^2+x-1$と直線$\ell:y=2x+1$の交点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた交点の$x$座標の大きい方を$x_0$とする．$a>x_0$とする．$C$と$\ell$で囲まれた領域の面積を$S_1$，$C$と$\ell$および直線$x=a$で囲まれた領域の面積を$S_2$，$C$と$\ell$および直線$x=-a$で囲まれた領域の面積を$S_3$とする．$S_1=S_2+S_3$となるときの$a$の値を求めよ．
(1)放物線$C:y=x^2+x-1$と直線$\ell:y=2x+1$の交点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた交点の$x$座標の大きい方を$x_0$とする．$a>x_0$とする．$C$と$\ell$で囲まれた領域の面積を$S_1$，$C$と$\ell$および直線$x=a$で囲まれた領域の面積を$S_2$，$C$と$\ell$および直線$x=-a$で囲まれた領域の面積を$S_3$とする．$S_1=S_2+S_3$となるときの$a$の値を求めよ．
国立 信州大学 2013年 第3問$xy$平面上に4点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{P}(u,\ v)$がある．点$\mathrm{P}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cos \alpha+\overrightarrow{\mathrm{OB}} \sin \beta \qquad (\text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \beta \leqq \pi) \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示せよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cos \alpha+\overrightarrow{\mathrm{OB}} \sin \beta \qquad (\text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \beta \leqq \pi) \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示せよ．
国立 九州大学 2013年 第2問座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．
国立 九州大学 2013年 第4問座標平面上の円$(x-1)^2+(y-1)^2=2$を$C$とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{4}x^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y| \leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式$(|x|-1)^2+(y-1)^2 \leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A \cup B$，すなわち領域$A$と領域$B$を合わせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D \cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．
(1)直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{4}x^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y| \leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式$(|x|-1)^2+(y-1)^2 \leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A \cup B$，すなわち領域$A$と領域$B$を合わせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D \cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$1 \leqq s+t \leqq 2$を満たす実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{R}$からなる領域を$E$とする．このとき，領域$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$1 \leqq s+t \leqq 2$を満たす実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{R}$からなる領域を$E$とする．このとき，領域$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．