正三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}_0$を選ぶ．選ばれた点に最も近い$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点を$\mathrm{Q}_0$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_1}=2 \overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_0}$を満たす点を$\mathrm{P}_1$とする．

(1)$\mathrm{P}_1$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外部の点となるような$\mathrm{P}_0$の領域を求め，図示せよ．
(2)$\mathrm{P}_1$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点のとき，$\mathrm{P}_1$に最も近い頂点を$\mathrm{Q}_1$として，$\overrightarrow{\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2}=2 \overrightarrow{\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1}$を満たす点を$\mathrm{P}_2$とする．$\mathrm{P}_2$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外部の点となるような$\mathrm{P}_0$の領域を求め，図示せよ．

実数$t$に対して$\displaystyle f(t)=\frac{t+|t|}{2}$とおく．このとき座標平面において不等式
\[ \frac{1}{4}x^2-1 \leqq y \leqq f(2-x^2) \]
が表す領域を図示し，その面積を求めよ．

$a,\ b$は$1$でない正の実数とする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(\log_a b)x+2 \log_b a=0 \]
が相異なる$2$つの正の実数解を持つような点$(a,\ b)$の動く領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3^{2014}$は$[ア]$桁の数であり，最も大きい位の数字は$[イ]$，一の位の数字は$[ウ]$である．ただし，
\[ \log_{10}2=0.3010,\quad \log_{10}3=0.4771,\quad \log_{10}7=0.8451 \]
とする．
(2)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -2x^2-8x-3 \\
y \geqq |3x+6| \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
で表される座標平面上の領域を$D$とする．

(i) $D$の面積は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(ii) 点$(x,\ y)$が$D$を動くとする．

\mon[$\mathrm{(a)}$] $4x+y$の最大値は$[カ]$，最小値は$[キ]$である．
\mon[$\mathrm{(b)}$] $x^2+4x+y$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．

座標平面において，放物線$C:y=-x^2+3x$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$で囲まれた領域を$S$とする．ただし，$S$は境界線を含むものとする．

(1)$C$と$\ell$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right)$である．
(2)点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は
\[ [ツ] \leqq a \leqq [テ]+[ト] \sqrt{[ナ]} \]
である．
(3)$a=[テ]+[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ニ]+\sqrt{[ヌ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ネ]+[ノ] \sqrt{[ハ]}$である．
(5)線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[ヒ]}{[フ]}+\frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．

$f(x)=x^2-4$，$g(x)=x(x^2-1)$とし，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+y^2 \leqq 8 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
f(x)g(x) \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

(1)$f(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(4)$xy$平面上に領域$D$を図示せよ．
(5)領域$D$の面積を求めよ．
(6)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$2x+y$の最大値と最小値を求めよ．最大値と最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標も答えること．

次の$2$つの不等式をともに満たす領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|x+y|<8 \\
|2x-3y|>6 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

大小二つのさいころを同時にふって，出た目の値をそれぞれ$a,\ b$とする．領域
\[ y \geqq -\frac{x}{2}+a \quad \text{かつ} \quad (x-b)^2+(y-b)^2 \leqq b^2 \]
の面積を$S$とする．ただし，空集合の面積は$0$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle S=\frac{\pi b^2}{2}$となる確率$p_1$を求めなさい．
(2)$S=0$となる確率$p_2$を求めなさい．

関数$f(x)=ax^2+bx+c (a>0)$で定まる放物線$C:y=f(x)$と，$C$に$x=\alpha$で接する接線$\ell$，および，直線$x=\beta (\alpha<\beta)$とで囲まれた領域の面積を$S$とする．このとき，$S$を$\alpha$と$\beta$を用いて表しなさい．

$xy$平面上に動点$\mathrm{P}(t,\ 2t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$がある．ただし，$0 \leqq t \leqq 1$とする．次の問いに答えよ．

(1)実数$k$に対して直線$x=k$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を求めよ．
(2)閉区間$[-1,\ 1]$内の定数$a$に対し，直線$x=a$と線分$\mathrm{PQ}$との交点の$y$座標のとり得る範囲を$a$で表せ．
(3)$t$が$0$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が動く領域$S$の面積を求めよ．