座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right)$の表す一次変換を$f$とする．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，点$\mathrm{P}(2+\cos \theta,\ \sin \theta)$を$f$で移した点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)不等式$a_1 \leqq x \leqq a_2$，$b_1 \leqq y \leqq b_2$の表す領域を$T$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$T$に入るとする．$T$の面積が最小となるときの$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を求めよ．
(3)不等式$(x-2)^2+(y-4)^2 \leqq r^2$の表す領域を$H$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$H$に入るとする．このとき，正の数$r$の最小値を求めよ．

$a$を$a>2$である実数とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{\sin x \cos x} (0<x<\frac{\pi}{2})$と直線$y=a$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha$および$\tan \beta$を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれた領域を$S$とする．$S$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$S$を$x$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

$a$を正の実数とする．$xy$平面上の曲線$C:y=e^{ax}$の接線で，原点を通るものを$\ell$とし，$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた領域を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$を$x$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V_1$を求めよ．
(2)$S$を$y$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V_2$を求めよ．
(3)$V_1=V_2$となるときの$a$の値を求めよ．

実数$a,\ b$は，$-1<x<1$に対して$-3<x^2-2ax+b<5$を満たすものとする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が表す領域を図示せよ．
(2)座標平面上で，直線$x=0$，直線$x=1$，直線$y=-3$，曲線$y=x^2-2ax+b$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$の取りうる値の範囲を求めよ．

実数$a,\ b$は，$-1<x<1$に対して$-3<x^2-2ax+b<5$を満たすものとする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が表す領域を図示せよ．
(2)座標平面上で，直線$x=0$，直線$x=1$，直線$y=-3$，曲線$y=x^2-2ax+b$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$の取りうる値の範囲を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=-7+k \int_0^6 |x-u| \, du$と定義する．ただし，$k$は定数，$f(3)=-5$である．次の各問に答えなさい．

(1)$k$の値を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数$s,\ t$が条件$0 \leqq s \leqq 20$，$0 \leqq t \leqq 20$を満たしながら動くとき，$xy$座標平面上の点
\[ \mathrm{P} \left( \frac{1}{2}s+\frac{1}{10}t,\ -\frac{1}{4}s-\frac{1}{5}t \right) \]
が動く領域$D$を求めなさい．
(4)不等式$y \geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．

$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(2)曲線$C$の概形を描け．
(3)曲線$C$が囲む領域の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，放物線$y=x(x-a)$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$上の点$(t,\ t(t-a))$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)点$(b,\ 0)$から$C$に，相異なる$2$本の接線が引けるとする．このとき$a,\ b$がみたす不等式を求め，その不等式が表す領域を，$ab$平面に図示せよ．
(3)$C$と$x$軸が囲む部分の面積を$S(a)$とする．関数$y=S(a) (-2 \leqq a \leqq 2)$のグラフをかけ．

不等式
\[ \log_x y<2+3 \log_y x \]
の表す領域を座標平面上に図示せよ．

次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 3 \\
x^2+y^2+6y \geqq 3
\end{array} \right. \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$D$を座標平面上に図示せよ．
(2)領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．