次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)さいころを$n$回投げて，第$1$回から第$n$回までに出た目$n$個の積を$X_n$とする．$X_n$が$3$で割り切れる確率は$[ア]$であり，$X_n$が$2$で割り切れる確率は$[イ]$である．また，$X_n$が$6$で割り切れる確率を$p_n$とすると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1-p_n)=[ウ]$である．
(2)連立不等式
\[ x^2+4y^2 \leqq 4,\quad x+2y \geqq 2 \]
の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$の最小値は$[エ]$である．また，最大値は$[オ]$であり，そのときの$x,\ y$は$x=[カ]$，$y=[キ]$である．
(3)正整数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 nx \, dx=[ク]$であり，異なる正整数$m,\ n$に対しては$\displaystyle \int_0^\pi \sin mx \sin nx \, dx=[ケ]$である．したがって，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{15} n \sin nx$とすると$\displaystyle \int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=[コ]$である．

$a>0$として，放物線$C:y=4x^2+2$，直線$\ell:y=ax-6$について次の問に答えよ．

(1)$C$が点$(2,\ 18)$で$\ell$と交わるとき，$a=[$25$][$26$]$となり，点$([$27$],\ [$28$])$でも交わる．
(2)$C$と$\ell$が接する場合$a=[$29$] \sqrt{[$30$]}$となり，接点の座標は
\[ (\sqrt{[$31$]},\ [$32$][$33$]) \]
となる．$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ．
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ．
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある．このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ．

$2$つの曲線
\[ C_1:y=x(x-3)^2,\quad C_2:y=m^2x \quad (m \text{は正の実数}) \]
は異なる$3$点で交わるものとする．原点以外の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (0<\alpha<\beta)$とする．

(1)$C_1$は，$x=[ア]$で極大値$[イ]$，$x=[ウ]$で極小値$[エ]$をとる．
(2)$m$の値の範囲は$[オ]<m<[カ]$であり
\[ \alpha=[キ]-m,\quad \beta=[ク]+m \]
である．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの領域の面積が等しくなるのは，$m=[ケ]$のときである．このとき，$2$つの領域の面積の和は$[コ]$となる．

連立不等式$|x| \leqq 1$，$|y| \leqq 1$で表される領域を$x$軸および$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体を，それぞれ$X,\ Y$とする．$X$と$Y$の共通部分の体積は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．

座標平面上の$2$つの放物線$y=4x^2+12x+2$と$y=x^2+2$をそれぞれ$C_1$と$C_2$とする．放物線$C_1$と$C_2$の両方に接し，傾きが正の直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を$y=ax+b$（$a,\ b$は定数）とおく．$C_1$と$\ell$の接点の$x$座標と$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標の小さい方を$s$，大きい方を$t$とする．連立不等式
\[ y \leqq 4x^2+12x+2,\quad y \leqq x^2+2,\quad y \geqq ax+b,\quad s \leqq x \leqq t \]
の表す領域の面積を求めよ．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．放物線$y=(x-3)^2$と直線$y=mx$は$2$点$\mathrm{A}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{B}(\beta,\ m \beta)$で交わり，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分するものとする．ただし，$m<0$とする．

(1)定数$m,\ \alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)連立不等式
\[ y \leqq (x-3)^2,\quad y \geqq mx,\quad y \geqq 0,\quad \alpha \leqq x \leqq 3 \]
が表す領域の面積を求めよ．

平面上に，$\sqrt{2}$だけ離れた$2$つの点がある．これらの点からの距離がともに$1$以下となる領域の面積を求めよ．

座標平面において，中心が原点$\mathrm{O}$で点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を通る円$C_1$と，中心が点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で点$\mathrm{P}$を通る円$C_2$がある．ただし$t>0$とする．$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$ではない交点を$\mathrm{R}$とし，$C_1$の境界を含む内部と$C_2$の境界を含む内部の共通部分を$D$とする．

(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．

(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．また，実数$x$に対する$2$つの条件$x(x^2+ax+b)=0$と$x=0$が，互いに同値であるとする．このとき，$a$と$b$がみたす関係を求め，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面に図示せよ．
(2)方程式$20 \cdot {15}^{-x}+{225}^x-21=0$を解け．