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秋田大学 国立 秋田大学 2016年 第3問
$b>0$,$a=2 \sqrt{3}b$とし,原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする.楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$,$y=b \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える.このような円のうち,不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする.円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき,$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ.
(2)$2d=11b$とし,$4$つの頂点が$(d,\ d)$,$(-d,\ d)$,$(-d,\ -d)$,$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える.点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき,$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする.このとき,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して,$C$の半径$r(\theta)$を求めよ.
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ.
札幌医科大学 公立 札幌医科大学 2016年 第2問
原点$\mathrm{O}$の座標平面上で点$\mathrm{A}(a,\ 0)$が与えられている.ただし$0<a<1$とする.また,点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=1 (y>0)$上を以下の条件をみたしながら動くものとする.

(条件)三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2 \leqq 1$をみたす領域内にある.

点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする.このとき,以下の各問に答えよ.

(1)$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ.
(2)$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき,三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ.
茨城大学 国立 茨城大学 2015年 第2問
放物線$C:y=-a^2 x^2+1$と直線$\ell:y=a(x+1)$について,次の各問に答えよ.ただし,$a$は$a>0$を満たす定数とする.

(1)$C$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつとき,$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$\ell$が$C$に接するとき,不等式$x \leqq 0$の表す領域内において$C$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
筑波大学 国立 筑波大学 2014年 第4問
平面上の直線$\ell$に同じ側で接する$2$つの円$C_1$,$C_2$があり,$C_1$と$C_2$も互いに外接している.$\ell$,$C_1$,$C_2$で囲まれた領域内に,これら$3$つと互いに接する円$C_3$を作る.同様に$\ell$,$C_n$,$C_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で囲まれた領域内にあり,これら$3$つと互いに接する円を$C_{n+2}$とする.円$C_n$の半径を$r_n$とし,$\displaystyle x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$とおく.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,$r_1=16$,$r_2=9$とする.

(1)$\ell$が$C_1$,$C_2$,$C_3$と接する点を,それぞれ$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_3$とおく.線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$,$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ.
(2)ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ.$a,\ b$の値も求めよ.
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対して,$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とする.$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ.ただし,$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい.
(4)$(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して,
\[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となることを示し,数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(図は省略)
宮城教育大学 国立 宮城教育大学 2014年 第2問
$3$つの不等式
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y \leqq 2 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ.さらに,点$(x,\ y)$がこの領域内を動くとき,$3x+4y$の最大値とそれを与える$x,\ y$の値を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2012年 第1問
行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって,$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$,$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする.ただし,$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする.次の問いに答えよ.

(1)$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ.
(2)$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{R}(a,\ c)$,$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$,$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき,次の式が成り立つことを証明せよ.
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) \]
(3)自然数$n$に対して,$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc}
1 & b \\
1 & -c
\end{array} \biggr) \]
で定める.このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ.
(4)$\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc}
14 & 13 \\
13 & 14
\end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ.
滋賀大学 国立 滋賀大学 2012年 第2問
点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2} \right)$を不等式$y < 4x-4x^2$の表す領域内の点とし,点Aを通り傾き$m$の直線を$\ell$とする.直線$\ell$と放物線$y=4x-4x^2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$m$を変化させたとき,$S$の最小値を$g(a)$とする.$g(a)$を与える$m$を$a$を用いて表せ.
(3)$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ.また,そのときの直線$\ell$の方程式を求めよ.
首都大学東京 公立 首都大学東京 2012年 第3問
座標平面上で,$x$座標.$y$座標がともに整数である点を格子点という.$n$を正の整数として,変数$x,\ y$についての不等式
\[ |x|+|y|<n \]
の表す領域内にある格子点$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする.以下の問いに答えなさい.

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めなさい.
(2)$a_{n+1}-a_n$を$n$で表しなさい.
(3)$a_n$を求めなさい.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2011年 第7問
座標平面上の点$(x,y)$の両座標とも整数のとき,その点を格子点という.本問では,「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする.

(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする.領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある.
(2)$n$を自然数として,不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする.領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である.
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「領域内」とは・・・

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