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岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第1問
当たりくじ$k$本を含む$n$本のくじがある.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$人がこの順番で$1$本ずつくじを引く.ただし,$k+3 \leqq n$であり,引いたくじはもとに戻さないものとする.以下の問に答えよ.

(1)$k=1$のとき,$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ.
(2)$k=2$のとき,$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ.
(3)$k \geqq 3$のとき,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がともに当たりくじを引く確率を求めよ.
(4)$k \geqq 3$のとき,$\mathrm{A}$がはずれくじを引き,かつ$\mathrm{B}$が当たりくじを引く確率を求めよ.
(5)$k \geqq 3$のとき,$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第1問
当たりくじ$k$本を含む$n$本のくじがある.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$人がこの順番で$1$本ずつくじを引く.ただし,$k+3 \leqq n$であり,引いたくじはもとに戻さないものとする.以下の問に答えよ.

(1)$k=1$のとき,$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ.
(2)$k=2$のとき,$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ.
(3)$k \geqq 3$のとき,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がともに当たりくじを引く確率を求めよ.
(4)$k \geqq 3$のとき,$\mathrm{A}$がはずれくじを引き,かつ$\mathrm{B}$が当たりくじを引く確率を求めよ.
(5)$k \geqq 3$のとき,$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率を求めよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第3問
同じ大きさのカードが$8$枚ある.カードそれぞれに$1$から$8$までの整数がひとつ書かれており,それぞれの整数は$1$枚にのみ書かれている.壺にこれら$8$枚のカードを入れる.

(1)この壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引く.引いたカードの$2$枚には,$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字が書かれており,かつ,残りの$1$枚には,$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[チ]$である.
(2)$(1)$で引いたカードをすべて壺に戻す.壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引き,それらを戻さずに,続けて無作為に$2$枚のカードを同時に引く.最初に引いた$3$枚のカードには,$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字と,$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれており,かつ,最後に引いた$2$枚のカードには,$7,\ 8$のうちのどれかひとつの数字と,$1$から$6$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[ツ]$である.
(3)$(2)$で引いたカードをすべて壺に戻す.次に,$8$個の箱を横に並べ,左から順に$1$から$8$までの番号をつける.壺から$1$枚ずつカードを無作為に引き,引いた順番と同じ番号の箱にカードを入れていく.例えば,$3$枚目に引いたカードは番号$3$の箱に入れる.このとき,奇数が書かれているすべてのカード($1,\ 3,\ 5,\ 7$の$4$枚)は,カードの数字と同じ番号の箱に入り,かつ,偶数が書かれているすべてのカード($2,\ 4,\ 6,\ 8$の$4$枚)は,カードの数字と異なる番号の箱に入っている確率は$[テ]$である.
広島経済大学 私立 広島経済大学 2016年 第2問
次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ.

(1)$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$の$6$人が,くじ引きで順番を決めて$1$列に並ぶとき,


(i) 両端が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である.

(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である.


(2)$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$の$6$人が,くじ引きで順番を決めて等間隔に輪の形に並ぶとき,


(i) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が正面に向かい合う確率は$\displaystyle \frac{[$18$]}{[$19$]}$である.

(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$20$]}{[$21$]}$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第2問
半径$1$の円周上に$8$個の点があり,それぞれの点は隣り合う点とすべて等間隔に配置されている.それらの点には,反時計回りに$1$から$8$までの番号が順番についている.また,中の見えない袋の中に,$8$個の球が入っていて,それらの球には,$1$から$8$の番号が$1$つずつ書かれている.

(1)袋から同時に$3$つの球を取り出すとき,取り出した球と同じ番号のついた円周上の$3$点を頂点とする三角形の作り方は,全部で$[$17$][$18$]$通りある.このとき,作られた三角形の面積と,その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる.以下の表を,上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい.

\begin{tabular}{cl}
\hline
面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$19$]}-[$20$]}{[$21$]}$ & $\displaystyle\frac{[$22$]}{[$23$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{[$24$]}{[$25$]}$ & $\displaystyle\frac{[$26$]}{[$27$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$28$]}}{[$29$]}$ & $\displaystyle\frac{[$30$]}{[$31$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$32$]$ & $\displaystyle\frac{[$33$]}{[$34$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$35$]}+[$36$]}{[$37$]}$ & $\displaystyle\frac{[$38$]}{[$39$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}


(2)袋から同時に$4$つの球を取り出すとき,取り出した球と同じ番号のついた円周上の$4$点を頂点とする四角形の作り方は,全部で$[$40$][$41$]$通りある.このとき,作られた四角形の面積と,その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる.以下の表を,上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい.

\begin{tabular}{cl}
\hline
面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$42$]}}{[$43$]}$ & $\displaystyle\frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$47$]}+[$48$]}{[$49$]}$ & $\displaystyle\frac{[$50$][$51$]}{[$52$][$53$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\sqrt{[$54$]}$ & $\displaystyle\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$58$]}+[$59$]}{[$60$]}$ & $\displaystyle\frac{[$61$][$62$]}{[$63$][$64$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$65$]$ & $\displaystyle\frac{[$66$]}{[$67$][$68$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}
大分大学 国立 大分大学 2014年 第1問
次の各問いに答えなさい.

(1)$n$本中$k$本の当たりが入ったクジを$n$人で順番に引く.引いたクジは元に戻さないとして,$i$番目にクジを引く人の当たる確率が$\displaystyle \frac{k}{n}$であることを示しなさい.ただし,$0<k<n$とする.
(2)関数$y_1=\sin x$と$y_2=2 \sin (a-x)$について,$y=y_1+y_2$の最大値が$\sqrt{7}$になるとき,定数$a$の値を求めなさい.
(3)放物線$y=ax^2$と直線$y=bx$で囲まれる部分の面積を$2$等分する直線$x=p$を求めなさい.ただし,$a,\ b>0$とする.
宮城教育大学 国立 宮城教育大学 2014年 第1問
$1 \leqq n<m$をみたす自然数の組を$(m,\ n)$と表し,これらを次の規則で順番に並べる.

(i) $1$番目は組$(2,\ 1)$とする.
(ii) $k$番目が組$(m,\ n)$のとき,
$n<m-1$ならば,$k+1$番目は組$(m,\ n+1)$とし,
$n=m-1$ならば,$k+1$番目は組$(m+1,\ 1)$とする.

例えば,$2$番目の組は$(3,\ 1)$,$3$番目の組は$(3,\ 2)$,$4$番目の組は$(4,\ 1)$,$5$番目の組は$(4,\ 2)$となる.次の問いに答えよ.

(1)$20$番目の自然数の組を求めよ.
(2)$m$を$2$以上の自然数とするとき,組$(m,\ 1)$は何番目かを答えよ.
(3)$1 \leqq n<m \leqq 5$をみたすすべての組$(m,\ n)$を考える.組$(m,\ n)$から分数$\displaystyle \frac{n}{m}$を作るとき,これらの分数の総和を求めよ.
(4)$l$を$2$以上の自然数とする.$1 \leqq n<m \leqq l$をみたすすべての組$(m,\ n)$から作る分数$\displaystyle \frac{n}{m}$の総和が$\displaystyle \frac{4753}{2}$であるとき,$l$の値を求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2013年 第5問
$n$を3以上の整数とする.$n$個の球$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$と$n$個の空の箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$がある.以下のように,$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$の順番に,球を箱に1つずつ入れていく. \\
まず,球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる.次に,球$K_2$を,箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ,箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる. \\
一般に,$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について,球$K_i$を,箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ,箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる.

(1)$K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である.これを証明せよ.
(2)$K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ.
広島国際学院大学 私立 広島国際学院大学 2013年 第3問
白い玉が$6$個,赤い玉が$4$個入っている箱の中から,順番に玉を$4$個取り出す.次の場合について,$4$個とも白い玉である確率を求めなさい.

(1)玉を$1$個取り出した時,箱に戻し,よくかきまぜてから次の玉を取り出す.
(2)玉を$1$個取り出した時,箱に戻さず,次の玉を取り出す.
札幌医科大学 公立 札幌医科大学 2013年 第2問
$1$から$4$の数字が$1$つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に$4$回投げ,底面に書かれてある数字をサイコロを投げた順番に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とする.そして,座標平面上の$2$点を$\mathrm{P}_1(a_1,\ a_2)$,$\mathrm{P}_2(-a_3,\ a_4)$とする.また,原点を$\mathrm{O}$と表す.

(1)点$\mathrm{P}_1$が直線$y=2x$上にあり,かつ点$\mathrm{P}_2$が直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$上にある確率を求めよ.
(2)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が直角となる確率を求めよ.
(3)$\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2$が鋭角となる確率を求めよ.
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