「順列」について
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国立 佐賀大学 2014年 第3問$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
国立 佐賀大学 2014年 第1問$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
私立 中京大学 2014年 第2問$\mathrm{Y}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{A}$の$12$文字全部を横$1$列に並べて順列をつくるとき，次の各問に答えよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．
(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．
(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．
(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．
私立 桜美林大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．
公立 宮城大学 2014年 第1問次の空欄$[ア]$から$[キ]$にあてはまる数や式を書きなさい．
(1)次の式を因数分解すれば，
\[ 2x^2+3xy+y^2+x-y-6=([ア])([イ]) \]
となる．
(2)$\mathrm{MIYAGIDAI}$のすべての文字を並べてできる順列のうち，$5$個の母音が隣り合わない場合は$[ウ]$通りある．
(3)$i$を虚数単位とするとき，
$(1+i)^2=[エ]i$であり，$(1+i)^{10}=[オ]i$である．すると，
$(1+i)^{2014}+(1-i)^{2014}=[カ]$となる．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=[キ]$である．
(1)次の式を因数分解すれば，
\[ 2x^2+3xy+y^2+x-y-6=([ア])([イ]) \]
となる．
(2)$\mathrm{MIYAGIDAI}$のすべての文字を並べてできる順列のうち，$5$個の母音が隣り合わない場合は$[ウ]$通りある．
(3)$i$を虚数単位とするとき，
$(1+i)^2=[エ]i$であり，$(1+i)^{10}=[オ]i$である．すると，
$(1+i)^{2014}+(1-i)^{2014}=[カ]$となる．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=[キ]$である．
国立 徳島大学 2013年 第2問$5$種類の文字$\mathrm{N},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{W},\ \mathrm{X}$を重複を許して横一列に$6$個並べた順列を考える．原点から出発して座標平面上を動くことができる点$\mathrm{P}$がある．それぞれの順列に対し，順列の文字を左端から$1$つずつ見てゆき，次の規則に従って点$\mathrm{P}$を動かし点$\mathrm{P}$の最終的な位置を決める．$\mathrm{X}$以外の各文字に対して，点$\mathrm{P}$を次の方向に$1$だけ動かす．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
公立 島根県立大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．
(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．