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岩手大学 国立 岩手大学 2015年 第1問
関数$f(x)=x^3-3x$について,以下の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$の増減表をかいて極値を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.
(2)$2$次関数$g(x)$で,次の$3$項目が$f(x)$と一致するものを求めよ.
$①$ \ 極小値 \quad $②$ \ 極小値をとるときの$x$の値 \quad $③$ \ $x=0$における値
(3)$(2)$で求めた$g(x)$に対して,定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |g(x)| \, dx$を求めよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2015年 第1問
次の$[ア]$~$[ヒ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字,および,$[あ]$にあてはまる$+$か$-$の符号を入れよ.

$p$を$3$で割り切れない整数とする.このとき,整数$a$と$b$に対し,

「$pa-b$が$3$の倍数ならば,$a-pb$も$3$の倍数になる.」

がわかる.これを認めて,$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める.$a_1=1$とし,$b_1$は$0$,$1$,$2$いずれかの数で$pa_1-b_1$が$3$の倍数になるようなものとし,$n=2,\ 3,\ \cdots$に対し,$a_n,\ b_n$を次のように定める.
\begin{itemize}
$\displaystyle a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}-pb_{n-1})$
$b_n$は,$0,\ 1,\ 2$いずれかの数で$pa_n-b_n$が$3$の倍数となるようなものとする.
\end{itemize}
このように定められた$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について,以下の各問いに答えよ.


(1)$p=8$のとき,$b_1=[ア]$,$a_2=-[イ]$,$b_2=[ウ]$,$a_3=-[エ]$,$b_4=[オ]$,$a_4=-[カ]$,$b_4=[キ]$,$a_5=-[ク]$,$b_5=[ケ]$,$a_6=-[コ]$となる.
(2)$p=-13$のとき,$a_{190}=[サ]$,$b_{190}=[シ]$,$a_{191}=[ス]$,$b_{191}=[セ]$,$a_{192}=[ソ]$,$b_{192}=[タ]$となる.
(3)$p=-13$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{200} a_k=[チ][ツ][テ]$となる.
(4)$p=-13$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}$となる.
(5)$p=3^{11}+1$のとき,数列$\{b_n\}$の第$2$項目以降で$0$でない値が初めて出てくるのは,第$[ネ][ノ]$項目であり,その項の値は$[ハ]$である.
(6)数列$\{b_n\}$のすべての項が$1$となるような整数$p$で絶対値が最小となるものは,$[あ] [ヒ]$である.$0$のときは,$+0$で表すものとする.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2015年 第1問
自然数の列を区切って,次のように群に分ける.第$1$群に入る項の個数は$1$個である.また,第$n+1$群に入る項の個数は第$n$群の最後の項と同じ数とする.ただし,$n$は自然数である.また,群に入る項が$1$個の場合は,その数が最初の項でありかつ最後の項であるとする.
\[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \]
第$n$群の最後の項を$b_n$とおき,第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく.以下の問題に答えよ.

(1)項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ.また,項$b_n$を$n$を用いて表せ.
(2)項数$c_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ.
(4)$n$が$3$以上の奇数のとき,第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ.
(5)$n$が$3$以上の奇数のとき,第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2013年 第1問
一般項が$a_k=2k-1$である数列に,次のような規則で縦棒で仕切りを入れて区分けする.その規則とは,区分けされた$n$番目の部分(これを第$n$群と呼ぶことにする)が$2n-1$個の項からなるように仕切るものである.
\[ 1 \;\biggl|\; 3,\ 5,\ 7 \;\biggl|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;\biggl|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;\biggl|\; 33,\ 35,\ 37,\ \cdots \]
このとき,例えば,第$3$群は,$9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17$の$5$つの項からなるので,第$3$群の初項は$9$,末項は$17$,中央の項は$3$項目の$13$である.また,第$3$群の総和は$9+11+13+15+17=65$であり,$15$は第$3$群の第$4$項である.次の問に答えよ.

(1)第$n$群の初項を$n$の式で表せ.
(2)第$n$群の中央の項を$n$の式で表せ.
(3)第$n$群の項の総和$S(n)$を$n$の式で表せ.
(4)第$1$群から第$n$群までの中央の項の総和を$n$の式で表せ.
(5)$2013$は第何群の第何項か.
大分大学 国立 大分大学 2012年 第1問
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす.

(1)$a_1$を求めなさい.
(2)$a_2$を求めなさい.
(3)一般項$a_n$を求めなさい.
大分大学 国立 大分大学 2012年 第1問
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす.

(1)$a_1$を求めなさい.
(2)$a_2$を求めなさい.
(3)一般項$a_n$を求めなさい.
大分大学 国立 大分大学 2012年 第1問
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす.

(1)$a_1$を求めなさい.
(2)$a_2$を求めなさい.
(3)一般項$a_n$を求めなさい.
京都薬科大学 私立 京都薬科大学 2011年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.

(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{6}}}}}$を簡単にすると,$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$となる.

(2)整式$x^{2011}$を$x^2+1$で割った余りは,$[ ]$となる.
(3)対数方程式$\log_{x-1}(x^3-3x^2-x+3)=2$を解くと,$x=[ ]$となる.
(4)$-{90}^\circ<x<0^\circ$において,$\displaystyle \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8$のとき,$\displaystyle \tan \frac{x}{2}=[ ]$となる.
(5)第$1$項から第$n$項($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)までの和が$3n^2-n$である数列の第$100$項目の数は$[ ]$である.
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