$x>0$において，つねに正の値をとる連続な関数$f(x)$がある．$xy$平面において，$0<a<b$をみたすすべての実数$a,\ b$に対して，曲線$y=f(x)$，$x$軸，直線$x=a$および直線$x=b$で囲まれた部分の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \]
であるとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$c>0$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(c,\ f(c))$における接線，$x$軸および$y$軸で囲まれた三角形の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \lim_{c \to \infty}T$を求めよ．

$a>0$とする．$xy$平面において，放物線$y=x^2+1$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2+1)$における接線を$\ell$，$\mathrm{A}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．

(1)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$，直線$m$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$3S_1=S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2+3x+6$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$上の点$(-1,\ 4)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$を$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$の交点の座標をすべて求めよ．
(4)$C_2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とする．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[ク]$～$[サ]$には整数を記入しなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．
(2)直線$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，さらに点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=[ウ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[エ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．このとき，$\mathrm{OC}:\mathrm{CP}=3:1$となるならば，$\cos \theta=[オ]$である．
(3)辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{OD}:\mathrm{DB}=1:3$となるようにとる．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．このとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$，$\triangle \mathrm{QAC}$，$\triangle \mathrm{OQD}$および四角形$\mathrm{QCBD}$の面積をそれぞれ，$S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$とすると，$S_1:S_2:S_3:S_4=[ク]:[ケ]:[コ]:[サ]$となる．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$をとる．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円$C$を考える．$C$上の点で，第$1$象限にある点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{POA}=\theta$とする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{[ケ]}$であり，$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{[コ]} \sin \theta \cos \theta$である．
(2)四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \sin 2\theta$である．
(3)$\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{[ス]}+\frac{1}{[セ]} \cos 2\theta$である．
(4)$\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると，$\displaystyle S=\frac{1}{[ソ]}+\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{[ツ]} \right)$であり，$S$は$\displaystyle \theta=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$をとる．

$xy$平面上に放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2+4$と点$\mathrm{P}(p,\ 0)$がある．ただし，$p \geqq 0$とする．$C$上の点$\displaystyle \left( p,\ \frac{1}{4}p^2+4 \right)$における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$に関して，$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$p=0$のとき，$\mathrm{Q}(0,\ [ア])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{p}{[イ]}x-\frac{[ウ]}{[エ]}p^2+[オ]$である．線分$\mathrm{PQ}$の中点が$\ell$上にあることから
\[ Y=\frac{p}{[カ]}X+[キ] \cdots\cdots (*) \]
が成り立つ．
(3)$p>0$のとき，$\mathrm{Q}$が，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線上にあることから
\[ Y=\frac{[クケ]}{p}X+[コ] \cdots\cdots (**) \]
が成り立つ．$(*)$と$(**)$から$p$を消去することにより
\[ X^2+Y^2-[サシ]Y+[スセ]=0 \]
が成り立つことがわかる．
(4)$X$の最小値は$[ソタ]$であり，このとき$p=[チ]$である．$p$が$0$から$[チ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]} \pi+\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．

$2$つの関数$f(x)=\log (a-4x)$，$g(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数であり，$a>4$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{B}$における接線と，曲線$y=g(x)$の点$\mathrm{B}$における接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．
(4)$a$を$(3)$で求めた値とするとき，$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^2-4 |x+2|+2x+4$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフに$2$点で接する直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線と$y=f(x)$が囲む部分の面積を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を通り，曲線$y=2+2 \log x$に接する直線を$\ell$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．また，この曲線と直線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)この曲線と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ア]}{e}$である．
(2)接点$\mathrm{A}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)図形$D$の面積は$\displaystyle [エ]-\frac{[オ]}{e}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[カ]([キ]-e)}{[ク]e} \pi$である．

空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(t,\ t,\ t)$が与えられている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S(t)$とおく．

(1)$S(t)$を求めよ．
(2)$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値と$\angle \mathrm{ACB}$を求めよ．