$e$は自然対数の底とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$3$点
\[ \mathrm{A}(e^{-\theta}+\sqrt{3},\ e^{-\theta}),\quad \mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{C}(\sqrt{3},\ 0) \]
がある．ただし，$\theta \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta)$とする．$F(\theta)$を求めよ．
(2)$F(\theta)$の導関数を$F^\prime(\theta)$とする．区間$0<\theta<2\pi$において$F^\prime(\theta)=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$n$を自然数とする．区間$2(n-1) \pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta)$の最大値，最小値をそれぞれ$\alpha_n$，$\beta_n$とする．$\alpha_n$，$\beta_n$を求めよ．また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\alpha_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$とおく．$S$の値を求めよ．

$a,\ b$は，$0<b<a$を満たす実数とする．曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$，点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする．連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$，連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし，$R=e^{-b}S_2$とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい．

(1)$p(a)$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ．
(3)$t=a-b$とする．$R$を$t$のみの関数として表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ．
(5)$b=p(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

$a,\ b$は，$0<b<a$を満たす実数とする．曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$，点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする．連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$，連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし，$R=e^{-b}S_2$とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい．

(1)$p(a)$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ．
(3)$t=a-b$とする．$R$を$t$のみの関数として表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ．
(5)$b=p(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-2}{e^x+2}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，$C$の変曲点の座標を求めよ．
(4)曲線$C$の変曲点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(5)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$2$つの関数
\[ f(x)=x \sqrt{4-x^2} (0 \leqq x \leqq 2),\quad g(y)=\sqrt{4-y^2} (0 \leqq y \leqq 2) \]
を考える．座標平面上において，曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，曲線$x=g(y)$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$との共有点の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が$C_1$上にあるとき，$x^2$を$y$を用いて表せ．
(5)$y$軸および$2$曲線$C_1$，$C_2$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

放物線$C:y=x^2$上の点$(t,\ t^2) (t>0)$における$C$の接線を$\ell$とする．直線$x=-1$，放物線$C$および接線$\ell$で囲まれる図形の面積を$S_1$，直線$x=5t$，放物線$C$および接線$\ell$で囲まれる図形の面積を$S_2$とし，$R=S_2-S_1$とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$R$の値を，$t$を用いて表せ．
(2)$R$の最小値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）

(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．

(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）

$p$を正の定数として，放物線$C:y=(x-p)^2+p^2$を考える．$C$の$2$本の接線$\ell,\ m$を考え，接点の$x$座標を，それぞれ$a,\ b$とする．ただし，$a<0$，$b>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$\ell,\ m$が原点を通るとき，$a,\ b$を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell,\ m$が原点を通るとき，放物線$C$と$2$本の接線$\ell$および$m$によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．

曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．

曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．