「面積」について
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国立 島根大学 2014年 第2問$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第2問$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第2問$a,\ b$は$a<b$をみたす実数とする．放物線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$，放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．
(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$，放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．
国立 島根大学 2014年 第2問$a,\ b$は$a<b$をみたす実数とする．放物線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$，放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．
(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$，放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．
国立 山形大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問座標平面上の点$(-2,\ 1)$を$\mathrm{A}$，点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{4}a^2 \right)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<a<2$とする．また，$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$で表される放物線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．
(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．
(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．
(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．
国立 茨城大学 2014年 第4問$0$でない実数$t$に対して，座標空間における$3$点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( t,\ \frac{1}{1+t^2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( t,\ 0,\ \frac{t}{1+t^2} \right)$を考える．以下の各問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 茨城大学 2014年 第3問放物線$y=x^2$を$C$として，$C$上に点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$をとる．正の実数$a$に対して，点$\mathrm{B}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_2$とする．また，$C$と$\ell_1$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の$x \geqq 0$の部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 2<\frac{S_2}{S_1}<2.01$を満たすための$a$の条件を求めよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 2<\frac{S_2}{S_1}<2.01$を満たすための$a$の条件を求めよ．
国立 茨城大学 2014年 第2問サイコロを$2$回続けて振って出た目の数を順に$a,\ b$とする．このとき，$3$次関数$f(x)=x^3-ax+b$について以下の各問に答えよ．
(1)$f(x)$の極大値と極小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる実数解をちょうど$2$つ持つような$a,\ b$の組を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$の組に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つ確率を求めよ．
(1)$f(x)$の極大値と極小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる実数解をちょうど$2$つ持つような$a,\ b$の組を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$の組に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つ確率を求めよ．
国立 宇都宮大学 2014年 第4問座標平面において，不等式$y \geqq x^2$の表す領域を$D$とし，$D$内の点$(a,\ b)$に対して連立不等式
\[ y \geqq x^2,\quad x \geqq a,\quad b \geqq y \]
の表す領域を$E(a,\ b)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域$E(a,\ b)$の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)曲線$4y=(x+1)^2$上の点$(2t-1,\ t^2)$が領域$D$内を動くとき，実数$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$で求めた範囲の$t$に対して，領域$E(2t-1,\ t^2)$の面積を$f(t)$とするとき，関数$f(t)$を$t$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた関数$f(t)$の最大値を求めよ．
\[ y \geqq x^2,\quad x \geqq a,\quad b \geqq y \]
の表す領域を$E(a,\ b)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域$E(a,\ b)$の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)曲線$4y=(x+1)^2$上の点$(2t-1,\ t^2)$が領域$D$内を動くとき，実数$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$で求めた範囲の$t$に対して，領域$E(2t-1,\ t^2)$の面積を$f(t)$とするとき，関数$f(t)$を$t$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた関数$f(t)$の最大値を求めよ．