$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)$，$g(x)$をそれぞれ
\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad g(x)=f^\prime(x) \]
と定め，放物線$y=f(x)$および直線$y=g(x)$をそれぞれ$C$，$L$とする．$C$の軸は$x=1$であり，$C$と$L$はともに点$(2,\ 2)$を通る．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C$を$y$軸方向に$d$だけ平行移動させた曲線を$D$とする．$D$は$L$と$2$点で交わり，その$2$点間の距離は$4 \sqrt{5}$である．この$2$点の座標，および$d$の値を求めよ．
(3)$L$と$D$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$a$を定数とし，$e$を自然対数の底とする．曲線$y=xe^{-x^2}$および直線$y=ax$をそれぞれ$C,\ L$とする．$C$と$L$は原点$(0,\ 0)$以外に交点をもつ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．また，$C$と$L$の交点でその$x$座標が正であるものを$a$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 0$において$C$と$L$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle S(a)<\frac{1}{2}$であることを示せ．

$f(x)=3 \sin x$，$g(x)=x(2+\cos x)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x<\pi$のとき，$0<f(x)<g(x)$が成り立つことを証明せよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と直線$x=\pi$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2-2x$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2)曲線$y=-x^2-2x$を$y$軸方向に平行移動した曲線を$y=f(x)$とする．その曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積が$8S$となった．曲線$y=f(x)$の方程式を求めよ．

箱の中に，$1$から$4$までの整数が$1$つずつ重複せずに書かれた$4$枚のカードが入っている．この箱から$2$枚のカードを同時に取り出し，書かれた整数のうち，小さい方を$a$，大きい方を$b$とする．また，放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell$とし，$\ell$に平行で点$(b,\ b^2)$を通る直線を$m$とする．さらに，放物線$C$と直線$m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$m$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$S$の期待値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{OA}=7$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{OC}=5$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{c}$を表しなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めなさい．

$0$以上の整数$n$に対して，
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$n \leqq x \leqq n+1$において，曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ．
(2)$f(x)=ce^{-x} (c>0)$とおく．曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ．
(3)曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし，点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする．また，$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする．曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$，および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ．

$p$を正の実数として，放物線$C:y^2=4px$を定める．$C$の頂点を$\mathrm{O}$，焦点を$\mathrm{F}$，準線を$\ell:x=-p$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) (b>0)$を考えるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし，$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ．
(2)接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき，$b$を$a,\ p$を用いて表せ．また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき，$b$の最小値を求めよ．

以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$とし，接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする．

(3)直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ．
(4)$\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$，線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-3x+6$があり，$C$上の点で$x$座標が$t$と$2t$であるものをそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし$t>0$とする．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるときの$t$の値を$t_0$とおく．$t_0$の値を求めよ．
(2)$t=t_0$のとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$の周および内部と，不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{2}x^2-3x+6$の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
(3)$0<t<t_0$を満たす$t$に対して，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおくとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．