「面積」について
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国立 山梨大学 2014年 第2問$a$は定数で$0 \leqq a \leqq 1$とする．$3$次関数$f(x)=(x+1)x(x-a)$および$g(x)=f(x-1)$を考える．
(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$A$とする．$A$の面積$S(a)$および$A$の$x \leqq a$をみたす部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(3)$(2)$の$A$で不等式$x \geqq a$をみたす部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_2(a)$が最大となるときの$a$の値とその最大値を求めよ．
(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$A$とする．$A$の面積$S(a)$および$A$の$x \leqq a$をみたす部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(3)$(2)$の$A$で不等式$x \geqq a$をみたす部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_2(a)$が最大となるときの$a$の値とその最大値を求めよ．
国立 山梨大学 2014年 第4問楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$および直線$\ell:y=kx (k>0)$とそれらの交点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
国立 大分大学 2014年 第1問次の各問いに答えなさい．
(1)$n$本中$k$本の当たりが入ったクジを$n$人で順番に引く．引いたクジは元に戻さないとして，$i$番目にクジを引く人の当たる確率が$\displaystyle \frac{k}{n}$であることを示しなさい．ただし，$0<k<n$とする．
(2)関数$y_1=\sin x$と$y_2=2 \sin (a-x)$について，$y=y_1+y_2$の最大値が$\sqrt{7}$になるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(3)放物線$y=ax^2$と直線$y=bx$で囲まれる部分の面積を$2$等分する直線$x=p$を求めなさい．ただし，$a,\ b>0$とする．
(1)$n$本中$k$本の当たりが入ったクジを$n$人で順番に引く．引いたクジは元に戻さないとして，$i$番目にクジを引く人の当たる確率が$\displaystyle \frac{k}{n}$であることを示しなさい．ただし，$0<k<n$とする．
(2)関数$y_1=\sin x$と$y_2=2 \sin (a-x)$について，$y=y_1+y_2$の最大値が$\sqrt{7}$になるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(3)放物線$y=ax^2$と直線$y=bx$で囲まれる部分の面積を$2$等分する直線$x=p$を求めなさい．ただし，$a,\ b>0$とする．
国立 富山大学 2014年 第3問関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．
国立 東京海洋大学 2014年 第3問座標平面上の曲線$C:y=x^3-x$を考える．$C$上の点$(-a,\ -a^3+a)$と$(a,\ a^3-a)$ $(a>0)$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$C$との$(-a,\ -a^3+a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_1$，$\ell_2$と$C$との$(a,\ a^3-a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_1$の交点を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_1$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_2$の交点を$\mathrm{Q}_2$とする．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$の座標を求めよ．
(2)$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線と$C$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を$S_1$，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+D$（$D$は積分定数）を用いてよい．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$の座標を求めよ．
(2)$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線と$C$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を$S_1$，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+D$（$D$は積分定数）を用いてよい．
国立 東京海洋大学 2014年 第4問座標平面上の放物線$C:y=-x^2+2ax-a^2+a+1$を考える．$a$が実数の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C$と放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{2}$との$2$つの共有点を結んだ線分の中点（共有点が$1$つの場合にはその点自身とする）が描く軌跡の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle y \geqq x^2+\frac{1}{2}$の表す領域のうちで$C$が通過する部分の面積を求めよ．
(1)$C$と放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{2}$との$2$つの共有点を結んだ線分の中点（共有点が$1$つの場合にはその点自身とする）が描く軌跡の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle y \geqq x^2+\frac{1}{2}$の表す領域のうちで$C$が通過する部分の面積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2014年 第2問次の不等式$①$，$②$，$③$を同時に満たす領域を$A$，不等式$①$，$②$，$③$，$④$を同時に満たす領域を$B$とする．
\[ \begin{array}{lr}
y \leqq 2(x+1)(9-x) & \cdots\cdots① \\
y \geqq -3x+18 & \cdots\cdots② \\
y \geqq 0 & \cdots\cdots③ \\
x \leqq a & \cdots\cdots④
\end{array} \]
ただし，$0<a<6$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)領域$A$の面積を求めよ．
(2)領域$B$の面積が領域$A$の面積の$\displaystyle \frac{1}{4}$倍になるときの$a$の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lr}
y \leqq 2(x+1)(9-x) & \cdots\cdots① \\
y \geqq -3x+18 & \cdots\cdots② \\
y \geqq 0 & \cdots\cdots③ \\
x \leqq a & \cdots\cdots④
\end{array} \]
ただし，$0<a<6$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)領域$A$の面積を求めよ．
(2)領域$B$の面積が領域$A$の面積の$\displaystyle \frac{1}{4}$倍になるときの$a$の値を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha-1}+\frac{\alpha}{\beta-1}$の値を求めよ．
(2)$x$が自然数のとき，不等式$(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2<1$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$であるとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha-1}+\frac{\alpha}{\beta-1}$の値を求めよ．
(2)$x$が自然数のとき，不等式$(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2<1$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$であるとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$は，$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\sqrt{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{B}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たす．下図のように，点$\mathrm{A}_1$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_2$とし，点$\mathrm{B}_2$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_2 \mathrm{A}_2$とする．次に，点$\mathrm{A}_2$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_3$とし，点$\mathrm{B}_3$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_3 \mathrm{A}_3$とする．この操作を繰り返し，辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$，$\cdots$を，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\cdots$を定める．自然数$n$に対し，$\triangle \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$の面積を$S_n$とし，これらの面積の総和を$\displaystyle T=\sum_{n=1}^\infty S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$，$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)$S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$，$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問$-a<x<a$で定義された曲線$C:y=x \sqrt{a^2-x^2}$がある．ただし$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．