$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対し，$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(-\cos \theta,\ -\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\cos \theta,\ -\sin \theta)$，$\mathrm{D}(-\cos \theta,\ \cos \theta,\ -\sin \theta)$を頂点とする四面体の体積を$V(\theta)$，この四面体の$xz$平面による切り口の面積を$S(\theta)$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ．

(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ．

(3)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ．

関数$f(x)=\log (1+x^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 \log (1+x^2) \, dx$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$の増減を調べ，$y=f^\prime(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$C:y=f(x)$と曲線$C$の互いに直交している$2$本の接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$a$を正の定数とする．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=2a$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{2}{3}\pi$である$\triangle \mathrm{ABC}$と，
\[ |2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=a \]
を満たす動点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$の最大値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．

$\displaystyle 0<a \leqq \frac{\pi}{2}$とし，曲線$y=1-\cos x (0 \leqq x \leqq a)$を$C$とする．$0<t<a$とし，原点と$C$上の点$(t,\ 1-\cos t)$を通る直線を$\ell$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$t \leqq x \leqq a$の範囲で$C$と$\ell$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき，$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(2)$S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき，$t_0$を$a$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle a-\frac{a^3}{3!}<\sin a<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!} (a>0)$は用いてよい．

正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，曲線$\displaystyle y=\frac{\log x}{a}$を$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)点$\displaystyle \left( 0,\ 1-\frac{1}{a} \right)$から曲線$C$に引いた接線の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた接線と曲線$C$と$x$軸によって囲まれた部分のうち第$1$象限の部分の面積を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$が曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2e}$と共有点をもち，その点における$2$つの曲線の接線が一致しているとき，曲線$C$と曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2e}$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，実数$k,\ m,\ n$に対して
\[ k \overrightarrow{\mathrm{PO}}+m \overrightarrow{\mathrm{PA}}+n \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとする．次の問いに答えよ．

(1)$k=4$，$m=1$，$n=2$のとき，$\triangle \mathrm{POA}$，$\triangle \mathrm{POB}$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積比を最も簡単な整数の比で表せ．
(2)$k$を$0$以上の定数とする．点$\mathrm{P}$が$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は線分になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$k \geqq 1$，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域$D$を図示せよ．また，領域$D$の面積は$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の何倍になるかを求めよ．

$a$を$\displaystyle \frac{\pi}{2}<a<\pi$を満たす定数とする．$2$つの曲線
\[ y=\sin x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq a \right),\quad y=\cos x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と$2$つの直線$x=a$，$y=0$で囲まれる図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$D$の面積$S$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(2)曲線$C$の概形を描け．
(3)曲線$C$が囲む領域の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，放物線$y=x(x-a)$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$上の点$(t,\ t(t-a))$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)点$(b,\ 0)$から$C$に，相異なる$2$本の接線が引けるとする．このとき$a,\ b$がみたす不等式を求め，その不等式が表す領域を，$ab$平面に図示せよ．
(3)$C$と$x$軸が囲む部分の面積を$S(a)$とする．関数$y=S(a) (-2 \leqq a \leqq 2)$のグラフをかけ．