空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PM}+\mathrm{MQ}$が最小となる$\mathrm{OB}$上の点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{PN}+\mathrm{NQ}$が最小となる$\mathrm{OC}$上の点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{QMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{QMN}$の面積の最大値を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{R}$を$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RC}}$の大きさの比$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|:|\overrightarrow{\mathrm{RC}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OQR}$の面積を求めよ．

関数$f(x)=(-4x^2+2)e^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$a$を$a \geqq 0$となる実数とし，$\displaystyle I(a)=\int_0^a e^{-x^2} \, dx$とする．このとき，定積分$\displaystyle \int_0^a x^2e^{-x^2} \, dx$を$a,\ I(a)$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，$y$軸および直線$x=5$で囲まれる部分の面積を求めよ．

座標平面上の曲線$y=|x^2+2x|$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と直線$y=x+2$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=x+2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$y=x+a$がちょうど$2$つの共有点をもつような実数$a$の値の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{e^x+e^{-x}}$のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．

(1)$C$の変曲点のうち，$x$座標が最大となる点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$とするとき，
\[ \tan \theta=e^b \]
をみたす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し，$\tan 2\theta$および$\theta$の値を求めよ．
(3)上の$b$に対する直線$x=b$と$x$軸，$y$軸および$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

放物線$C:y=x^2+2x$上の$2$点$(a,\ a^2+2a)$，$(b,\ b^2+2b)$における接線をそれぞれ$\ell_a$，$\ell_b$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$とする．

(1)$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$の方程式を求めよ．また，$\ell_a$と$\ell_b$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$C$と$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$が垂直に交わるように$a,\ b$が動くとき，$a,\ b$がみたす関係式を求めよ．また，そのときの面積$S$の最小値とそれを与える$a,\ b$の値を求めよ．

実数$a,\ b$は，$-1<x<1$に対して$-3<x^2-2ax+b<5$を満たすものとする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が表す領域を図示せよ．
(2)座標平面上で，直線$x=0$，直線$x=1$，直線$y=-3$，曲線$y=x^2-2ax+b$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$の取りうる値の範囲を求めよ．

座標平面において，$C:y=e^{-x} (x>0)$上の点$(a,\ e^{-a})$の接線を$L$とおき，$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とし，$y$軸，$L$，$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．

(1)$S_1,\ S_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$a>0$のとき，$(a-1)e^a+1>0$であることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a$の関数とみたとき，区間$(0,\ \infty)$で単調に増加することを示せ．