$m,\ n (m<n)$を自然数とし，
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．

$m,\ n (m<n)$を自然数とし，
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．

四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90^\circ$をみたす．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$，$\displaystyle pq=\frac{1}{2}$となるようにとる．$p+q=t$とし，$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積を$S$とする．

(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$S$を$t$で表せ．
(3)$S$の最小値，およびそのときの$p,\ q$を求めよ．

$a_1,\ a_2,\ a_3$は定数で，$a_1>0$とする．放物線$C:y=a_1x^2+a_2x+a_3$上の点$\mathrm{P}(2,\ 4a_1+2a_2+a_3)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}(q,\ 0)$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}(0,\ a_4)$とする．$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$がこの順に等差数列であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を$a_1$を用いて表せ．
(2)$q$の値を求めよ．
(3)放物線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S=q$となるとき，$a_1$を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+1$を考え，$C$上の点$(1,\ 3)$を$\mathrm{P}_0$とする．$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{k-1}(x_{k-1},\ y_{k-1})$における$C$の接線と$C$の交点のうちで$\mathrm{P}_{k-1}$と異なる点を$\mathrm{P}_k(x_k,\ y_k)$とする．このとき，$\mathrm{P}_{k-1}$と$\mathrm{P}_k$を結ぶ線分と$C$によって囲まれた部分の面積を$S_k$とする．

(1)$S_1$を求めよ．
(2)$x_k$を$k$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ．

曲線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(b,\ b^2)$における接線を$\ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{QR}$および曲線$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．

(1)$\mathrm{R}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直であるときの$S$の最小値を求めよ．

二つの関数$f(x)=x \sin x$，$g(x)=\sqrt{3}x \cos x$について次の問いに答えよ．ただし，$(3)$と$(4)$において，$a$および$h(x)$は$(2)$で定めたものとする．

(1)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点のうち，$x$座標が$-\pi \leqq x \leqq \pi$であるものをすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた共有点のうち，$x$座標が正である点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$とする．点$\mathrm{A}$における曲線$y=g(x)$の接線を$y=h(x)$と表す．$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq a$のとき，$h(x) \geqq g(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq a$の範囲において，$y$軸，曲線$y=g(x)$，および直線$y=h(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\angle \mathrm{BOC}=2 \theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{MBC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

$1$辺の長さが$1$の正六角形において，頂点を反時計回りに$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$，$\mathrm{P}_6$とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$j,\ k$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点となるとき，この$3$点を頂点とする三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点とならないときは，$S=0$と定める．次の問いに答えよ．

(1)$S>0$となる確率を求めよ．
(2)$S$が最大となる確率を求めよ．
(3)$S$の期待値を求めよ．

下図のような$1$辺の長さ$10 \, \mathrm{cm}$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$は時刻$0$に$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$をそれぞれ出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$1 \, \mathrm{cm}$進む．また，点$\mathrm{R}$は時刻$0$に$\mathrm{B}$を出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$2 \, \mathrm{cm}$進む．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に達するまでに$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$35 \, \mathrm{cm}^2$となる時刻をすべて求めよ．

\begin{zahyou*}%
[ul=10mm,Ueyohaku=1em,
Hidariyohaku=1em,%
Sitayohaku=1em]%
(0,3)(0,3)
\tenretu{A(0,3)nw;B(0,0)sw;%
C(3,0)se;D(3,3)ne}
\Takakkei{\A\B\C\D}
\end{zahyou*}