$xyz$空間の原点を$\mathrm{O}$とし，点$(0,\ 0,\ 1)$と点$(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$は，時刻$t=0$のとき$(-4,\ 0,\ 0)$にあって，$x$軸上を正の向きに速さ$1$で動いている．点$\mathrm{Q}$は，$t=0$のとき$(0,\ 0,\ 1)$にあって，直線$\ell$上を$x$座標が増えるように速さ$2$で動いている．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を$t$の式で表せ．
(3)$-0.33 \leqq t \leqq 2.6$のときの$S$の最大値と最小値，およびそれらをとる$t$の値を求めよ．

空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ t,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ t)$，$\mathrm{C}(t,\ 1,\ 0) (0 \leqq t \leqq 1)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$の最小値を求めなさい．

実数全体を定義域とする関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ
\[ f(x)=e^x,\quad g(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2} \]
で定める．曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ e^t)$における法線に関して，直線$x=t$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$は曲線$y=g(x)$に接することを示し，その接点の$x$座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接点を$\mathrm{P}$とする．$\ell$と曲線$y=f(x)$，および$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$t$が実数全体を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

$a,\ b,\ p,\ q$を実数の定数（ただし$a<b$）とする．$2$次方程式
\[ (*) \quad x^2-px+q=0 \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$(*)$が実数解をもち，それらがともに$a$以上$b$以下であるための必要十分条件を$p,\ q$についての連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で導いた$p,\ q$についての連立不等式を満たす座標平面上の点$(p,\ q)$全体の集合を$D$とするとき，$a,\ b$を用いて$D$の面積を表せ．

以下の問に答えなさい．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^3 (9-x^2) \, dx$の値を求めなさい．
(2)$k>0$とする．定義域を$-3 \leqq x \leqq 3$とする関数
\[ f(x)=k(9-x^2) \]
のグラフ$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積が$1$となるような$k$の値を求めなさい．
(3)$k$は$(2)$で求めた値とし，$-3 \leqq t \leqq 3$とする．$x \leqq t$のとき，グラフ$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$F(t)$を$t$の式で表しなさい．
(4)$(3)$で求めた$t$の関数$F(t)$の増減表を作成し，関数$y=F(t)$のグラフの概形を描きなさい．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と$3$次関数$f(x)=x^3-6x^2+15x$と$1$次関数$g(x)=3ax$を考える．ただし，$a$は定数である．また，関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$y=f(x)$上の点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．ただし，$p \geqq 0$を満たす．以下の問題に答えよ．

(1)関数$f(x)$が単調に増加することを示せ．
(2)直線$\ell$の傾きが最小となるとき，$p$の値と直線$\ell$の式を求めよ．
(3)関数$y=g(x)$のグラフが曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$a$の値は$(3)$で求めた範囲を満たすとする．$x \geqq 0$の範囲で関数$f(x)-g(x)$が最小となるとき，$x$を$a$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合に，接線$\ell$が曲線$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，曲線$C$上において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の間に点$\mathrm{R}$をとる．$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{R}$の座標と$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積を求めよ．

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx (a \neqq 0)$および$g(x)=mx (m \neq 0)$について，次の$(1),\ (2)$の問に答えなさい．

(1)関数$f(x)$が，$x=1$で極大値$4$，$x=3$で極小値$0$をとるように$a,\ b,\ c$の値を計算しなさい．
(2)$(1)$で求めた関数$f(x)$と$g(x)$が$3$点で交わるとき，$f(x)$と$g(x)$は$2$つの領域を囲むが，これら$2$つの領域の面積が等しくなるように$m$の値を計算しなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)等式$f(x)-3f^\prime(x)=(x+3)(x-3)$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲において，$x=3$のとき最小値$12$をとり，最大値が$21$である$2$次関数$g(x)$を求めなさい．
(3)上記の$(1)$と$(2)$で求めた$2$次関数$f(x)$，$g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．このとき，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線と$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

次の$(1)$～$(6)$の中から$4$つを選択し解答しなさい．

(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．

$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$とおく．ただし，$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．

(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．