$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で表される曲線がある．ただし$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．

(1)$y$を$x$で表すと$y=[$4$]$となる．
(2)曲線と$x$軸とで囲まれた部分の面積は$[$5$]$である．

$x$は実数で，関数$f(x)$は$x>0$において$f(x)=(x^x-1)(\log_e x+1)$と定義されている．

(1)$f(x)=0$となる$x$の値は，$[$10$]$である．
(2)$x^x$の導関数は$[$11$]$となる．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積は$[$12$]$である．

次の$(1)$，$(2)$から$1$問選択しなさい．

(1)$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 2)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{7}$とする．

(i) $\angle \mathrm{A}$を求めなさい．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径を求めなさい．

下記に示す三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=4$であり，内側に円が接している．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)内接円の半径$r$の長さを求めよ．

以下の各問に答えなさい．

(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=-3x^2+2x-1 \]
(2)関数$f(x)=x^2-12x+c$が$2 \leqq x \leqq 9$において最大値が$12$になるように，定数$c$の値を求めよ．
(3)縦横$13$本の線を持つ碁盤（$13$路盤）がある．各線によって構成される枠の大きさはすべて等しく，$1$辺が$1 \, \mathrm{cm}$である．ここで，$4$つの角を左上から反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とした場合，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$の場所に碁石を配置した．ただし，$\mathrm{AE}=x$，$\mathrm{BF}=2x$，$\mathrm{CG}=x+6 (0<x<6)$であるようにする．このとき，三角形$\mathrm{EFG}$の面積が最小になる場合の$x$の値と，その面積を求めよ．
（図は省略）

下記に示す四角形$\mathrm{ABCD}$およびそれに外接する円がある．$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=4$とする．また，$\angle \mathrm{BAD}=\theta$，$\angle \mathrm{BCD}={180}^\circ-\theta$とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$-2$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=x^2-4x+12 \]
(2)実数$x,\ y$について$4$次関数$y=(x^2+4x)^2+4x^2+16x+5$において，$-3 \leqq x \leqq 1$における最大値，最小値を求めよ．
(3)菱形の凧を作成したい．使用できる凧の骨が$14 \, \mathrm{cm}$で，凧の骨は対角線に配置する．このとき，凧の大きさ（面積）の最大値を求めよ．また，周の長さの最小値も求めよ．

座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ -1,\ 2)$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の周上または内部の点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AP}=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

座標平面において楕円$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$C$に接する傾き$m$の直線の方程式をすべて求めなさい．
(2)すべての辺が$C$に接する長方形の$1$辺の傾きが$m$であるとする．この長方形の面積$S(m)$を求めなさい．
(3)$m$がすべての実数を動くとき，$(2)$で求めた$S(m)$の最大値を求めなさい．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{O}$の$7$点から異なる$3$点を同時に選ぶとき，以下の問いに答えなさい．

(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．