関数$f(x)=3x^2+5$のグラフ上の点$(-2,\ f(-2))$における接線を$\ell_1$とし，直線$x=k$（ただし，$k \neq -2$）を$\ell_2$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフと接線$\ell_1$，直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{125}{8}$となるとき，定数$k$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}$は鋭角である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，次の各問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が$3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとき，線分$\mathrm{PA}$の長さを求めよ．

放物線$y=-x^2+4$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線と点$\mathrm{P}$で直交する直線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)この放物線上の点$\displaystyle \left( -\frac{3}{2},\ \frac{7}{4} \right)$を通るような直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)この放物線と$x$軸で囲まれた図形は，$(1)$で求めた直線で$3$つの部分に分けられる．点$(0,\ 4)$，$(0,\ 3)$，$(0,\ 2)$を含む部分の面積をそれぞれ$S_1$，$S_2$，$S_3$とするとき，$S_1:S_2:S_3$を求めよ．

$s$を$-1 \leqq s \leqq 1$を満たす実数とする．$xy$平面上のベクトル$\overrightarrow{a_s},\ \overrightarrow{b_s},\ \overrightarrow{c_s}$を
\[ \overrightarrow{a_s}=\left( s,\ \sqrt{1-s^2} \right),\quad \overrightarrow{b_s}=\left( \sqrt{1-s^2},\ -s \right),\quad \overrightarrow{c_s}=\left( s \sqrt{1+s^2},\ \sqrt{1-s^4} \right) \]
と定める．$t$を実数とし，$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を


$\displaystyle \overrightarrow{a_s}+\frac{t}{|\overrightarrow{b_s}|} \overrightarrow{b_s}=(f_t(s),\ g_t(s))$

$\displaystyle \overrightarrow{a_s}-\frac{t}{|\overrightarrow{c_s}|} \overrightarrow{c_s}=(h_t(s),\ k_t(s))$


により定める．さらに，$s$を媒介変数とする$2$つの曲線

$\displaystyle C_t:x=f_t(s),\ y=g_t(s) \quad \left( -\frac{1}{2} \leqq s \leqq 1 \right),$
$K_t:x=h_t(s),\ y=k_t(s) \quad (-1 \leqq s \leqq 1)$

を考える．次の各問いに答えよ．

(1)$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{b_s}$のなす角，および，$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{c_s}$のなす角を求めよ．
(3)${f_t(s)}^2+{g_t(s)}^2$を$t$のみを用いて表せ．
(4)$t$が$0$から$\sqrt{3}$まで動くとき，$C_t$が通過する部分を$D$とする．$D$を図示せよ．
(5)$(4)$で定めた$D$の面積を求めよ．
(6)$(4)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
(7)$K_{\frac{1}{2}},\ K_1,\ K_{\frac{3}{2}}$を図示せよ．
(8)$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq |t-1| \leqq 1$を満たす範囲を動くとき，$K_t$が通過する部分の面積を求めよ．

$k$を正の定数とする．放物線$y=-x^2-2x+3 \cdots\cdots①$と直線$y=k \cdots\cdots②$について，次の各問に答えよ．

(1)放物線$①$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)放物線$①$と直線$②$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっているとき，原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結んでできる$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．なお，$k>0$として，解答はすべて数あるいは$k$を用いた式で示すこと．

(1)$2$次関数$f(x)=-x^2+(k-1)x+k$を考える．放物線$y=f(x)$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$となり，この放物線上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は$y=([ウ])x+[エ]$となる．
(2)次に$2$次関数$g(x)=x^2+ax+b$（$a,\ b$は定数）を考える．放物線$y=g(x)$が点$(k,\ 0)$において放物線$y=f(x)$と接線を共有するとき，$a,\ b$の値はそれぞれ$[オ]$，$[カ]$であり，$\ell$と放物線$y=g(x)$との交点の$x$座標はそれぞれ$[キ]$，$[ク]$となる（ただし$[キ]<[ク]$とする）．
(3)さらに$\ell$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$k$で表すと$[ケ]$となる．また，$\ell$は$k=[コ]$のとき放物線$y=g(x)$と$x$軸上で交わり，そのときの$S$は$[サ]$となる．

$xy$平面において，放物線$C:y=9x^2$を$x$軸方向に$t$（ただし，$t>0$），$y$軸方向に$8$だけ平行移動して得られる放物線を$D$とする．また，$C$上の点$(p,\ 9p^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$D$の方程式は$y=9x^2-[アイ]tx+[ウ]t^2+[エ]$である．
(2)$\ell$の方程式は$y=[オカ]px-[キ]p^2$である．
以下，$\ell$は$D$にも接しているとする．
(3)$p$を$t$を用いて表すと，$\displaystyle p=\frac{[ク]}{[ケ]t}$である．また，$\ell$と$D$の接点の$x$座標$X$を$t$を用いて表すと
\[ X=t+\frac{[コ]}{[サ]t} \]
である．
(4)$X$は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$をとる．このとき，$C$と$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．

(i) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(ii) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^{\frac{2}{3}}$である．

(iii) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．

(2)$p$を負でない実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \]
の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$であり，

$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$[$*$ネ] \sqrt{[ノ]}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]} \pi$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

$y=x^3-2x$の表す曲線$C$がある．

(1)$\alpha \neq 0$のとき，$C$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^3-2 \alpha)$における接線$\ell$の方程式は
\[ y=([$*$あ] \alpha^2+[$*$い])x+[$*$う] \alpha^3 \]
である．
(2)$\ell$が再び$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[$*$え] \alpha$であり，線分$\mathrm{PQ}$と$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[おか]}{[き]} \alpha^4$である．
(3)$\alpha>0$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{L^2}{\alpha^2}$が最小になるのは$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$のときである．
(4)原点を除く直線$y=[$*$こ]x$上の点からは，$C$への接線がちょうど$2$本引ける．

原点を中心とした半径$1$の円に内接する正三角形$T_1$がある．$T_1$の頂点の$1$つが$\mathrm{A}(0,\ 1)$であり，$T_1$の残りの頂点のうち，$x$座標が負の値である方を$\mathrm{B}$とする．また，$T_1$を原点に関して対称移動したものを$T_2$とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式は，$[$1$]$である．
(2)直線$\mathrm{AB}$と$T_2$の辺との交点のうち，$x$座標の値が大きい方の座標は$(x,\ y)=[$2$]$である．
(3)$T_1$と$T_2$が重なる部分の面積は$[$3$]$である．