$a$を実数の定数として$x$の$2$次関数
\[ f(x)=-3x^2+\left\{1-\int_{-1}^1 f(t) \, dt \right\}x+a \]
を考える．$x$が$3$から$4$まで変化するときの平均変化率が$4a$であるとき，以下の各問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$の値を求めよ．

放物線$y=x^2-8x+15$と直線$y=-2x+4$がある．放物線上を動く点を$\mathrm{P}$とし，直線の$x$切片を点$\mathrm{A}$，$y$切片を点$\mathrm{B}$とした場合，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積$S$の最小値を求めよ．

放物線$y=x^2-2ax+b$（$a,\ b$は定数）と直線$y=2x+3$が$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，点$\mathrm{P}$がこの放物線の頂点であるとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$で表せ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする．$b$が最小値をとるときの$\triangle \mathrm{QPO}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2)長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を，それぞれ$S_1$と$S_2$とおく．面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4)$\triangle \mathrm{OBP}$の面積を，$S_3$とおく．面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$1$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AE}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積と$\triangle \mathrm{EDC}$の面積の比を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$のとき，以下の値を求めよ．

(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$

(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$

(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$

放物線$C:y=x^2-x$上の点$\mathrm{P}(2,\ 2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$C$の接線のうち$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式は，$y=[ナ]x-[ニ]$である．

(2)$\ell_2$の方程式は，$\displaystyle y=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}x-\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．

(3)$\ell_1,\ \ell_2,\ C$で囲まれる部分の面積は，
\[ \int_a^2 \left\{ (x^2-x)-\left( \mkakko{ナ}x-\mkakko{ニ} \right) \right\} \, dx+\int_b^a \left\{ (x^2-x)-\left( -\frac{\mkakko{ヌ}}{\mkakko{ネ}}x-\frac{\mkakko{ノ}}{\mkakko{ハ}} \right) \right\} \, dx \]
によって求められる．ただし，$\displaystyle a=\frac{[ヒ]}{[フ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

平面上に，$\sqrt{2}$だけ離れた$2$つの点がある．これらの点からの距離がともに$1$以下となる領域の面積を求めよ．

辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行な台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CD}=3$，$\mathrm{DA}=5$とする．

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(2)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$\displaystyle \frac{[サシ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$である．

曲線$y=x^3-2x^2-3x$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[ホ][マ]}{[ミ]}$である．