次の$[　]$を埋めよ．

(1)円$x^2+y^2=5$と直線$y=x+k$が共有点をもつとき，定数$k$の範囲は，
\[ -\sqrt{[ア][イ]} \leqq k \leqq \sqrt{[ア][イ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^3-3x^2-72x+18$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ウ]x^{\mkakko{エ}}-[オ]x-[カ][キ] \]
となる．また，関数$f(x)$は$x=[ク][ケ]$のとき極大値$[コ][サ][シ]$をとり，$x=[ス]$のとき極小値$\kakkofour{セ}{ソ}{タ}{チ}$をとる．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$がある．このとき，


$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{[ツ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{[テ][ト]}$，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[ナ]$，$\angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ]}^\circ$


となる．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$である．

円$x^2+(y-1)^2=1$とその内部を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．

(1)$t$を$-1 \leqq t \leqq 1$を満たす定数とする．この立体を$x$軸に垂直で$(t,\ 0)$を通る平面で切った断面の面積を$t$で表しなさい．
(2)この立体の体積を求めなさい．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)関数$f(x)=3^x$の導関数は$f^\prime(x)=[ア]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[イ]$である．したがって，座標平面内において，点$(1,\ 3)$における曲線$C:y=f(x)$の接線$\ell$の方程式は$y=[ウ]$であり，法線$m$の方程式は$y=[エ]$である．さらに，曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸と直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[オ]$であり，法線$m$と$x$軸の交点の座標は$([カ],\ 0)$である．
(2)$1$から$9$までの番号札$9$枚を入れた箱がある．その箱から番号札を$1$枚ずつ$2$回取り出して，その数を順に$x,\ y$とする．ただし，$1$度取り出した札はもとに戻さないとする．$\displaystyle \frac{y}{x}$が整数になる確率は$[キ]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \leqq \frac{1}{2}$となる確率は$[ク]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \geqq 3$となる確率は$[ケ]$である．また，$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{y}{x}<3$となる確率は$[コ]$である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)整式$P(x)$は$(x-2)(x+3)$で割ると余りは$5x-2$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$-x+10$である．このとき，$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ると余りは$([ア])x+([イ])$である．
(2)初項が$a_1=-24$で公差が$12$の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[ウ]$である．また，数列$\{b_n\}$の初項$b_1$から第$n$項までの和$T_n$が$T_n=5^n-1$のとき，一般項は$b_n=[エ]$である．このとき，初項が$c_1=-1$で漸化式
\[ c_{n+1}=c_n+S_n-b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=[オ]$である．
(3)曲線$C:y=|x^2-4x-5|$と直線$\ell:y=k$の共有点の個数は$3$個である．このとき，実数$k$の値は$k=[カ]$であり，直線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は$[キ]$である．
(4)$1$個のサイコロを$3$回投げる．出た目の最大値が$5$となる確率は$[ク]$である．出た目の最大値が$5$，かつ最小値が$1$となる確率は$[ケ]$である．$3$つの出た目の積が$2$の倍数であり，かつ$3$の倍数でない確率は$[コ]$である．

$xy$平面上に直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．自然数$n$に対して，この平面上に，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$を次のように定める．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．

(1)正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\ \frac{[オ]}{[カ]}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{[キ]}{[ク]}x$上にある．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$[サ]$，$[シ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．
\[ \nagamaruichi -n-1 \qquad \nagamaruni -n \qquad \nagamarusan n-2 \qquad \nagamarushi n-1 \qquad \nagamarugo n \qquad \nagamaruroku n+1 \]
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$[ス]$である．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$である．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$となる$t$の値を求めよ．
(4)$0<\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})<|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$が成り立つことを示せ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる$t$の値を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

関数$f(x)=xe^{-x}$を考える．

(1)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)$の増減と凹凸を調べ，$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$t$を正の数とし，$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および直線$x=t$と$x=2t$で囲まれた図形の面積$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．また，$S(t)$の最大値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面内に曲線$C:y=\log (x+1)$，点$\mathrm{P}(t,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(t,\ \log (t+1))$を考える．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$軸，直線$x=t$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$T(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{T(t)}{S(t)} \]
(3)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(4)台形$\mathrm{OPQR}$の面積を$U(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{U(t)}{S(t)} \]

$f(x)=2^{-x} \cos x$とし，曲線$C:y=f(x)$と正整数$n$に対して，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の接線と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の法線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)上の$(1)$と$(2)$で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$の$3$点でできる$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$T_n$を$n$を用いて表せ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$の和を求めよ．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円と，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円がある．$2$つの円が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっており，$\mathrm{OP}=\sqrt{3}+1$であるとする．また，四角形$\mathrm{AOBP}$の面積を$S$とする．

(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{OAP}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{[サ][シ]}$である．

(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOP}=\frac{\sqrt{[ス][セ]}}{2}$であり，$\mathrm{AB}=[ソ][タ] \sqrt{3}$である．

(3)四角形$\mathrm{AOBP}$の面積は$S=[チ][ツ]+\sqrt{3}$である．

(4)$2$つの円が重なり合った部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{6} \pi-S$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．