$3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$を証明せよ．
(3)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$r$を求めよ．

放物線$C:y=x^2-x$について以下の問いに答えよ．ただし$a>0$とする．

(1)点$(0,\ -a)$を通る$C$の$2$つの接線の方程式およびそれぞれの接点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$つの接点を通る直線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)$(1)$で求めた$2$つの接線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x+x \sqrt{1-x^2}$について以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\log (1+\sqrt{2+x})-\frac{1}{2} \sqrt{2+x}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$および直線$\displaystyle y=\frac{\log 3-1}{4}x+\frac{\log 3-1}{2}$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2 \sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(1,\ 1)$において接線と直交する直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$0<\theta<1$とする．三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\frac{1}{\theta}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．また，辺$\mathrm{AB}$を$(1-\theta):\theta$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を$S$とする．$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{CD}$を求めよ．

放物線$y=x^2+ax+b$と$x$軸との交点の座標は$(\sin \theta,\ 0)$，$(\sqrt{3} \cos \theta,\ 0)$である．この放物線と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とし，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)$a,\ b$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$S$の最大値を求めよ．

下図のような$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}={30}^\circ$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$\sqrt{3}$とする．さらに，弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{PC}$となる点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BPC}$および$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCP}$の面積を求めよ．

$k$を正の実数とする．直線$\displaystyle \ell:y=\frac{x}{\sqrt{3}}+k$は$x$軸と点$\mathrm{P}$で交わり，円$O:x^2+y^2=1$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は直線$\ell$上にこの順で並び，$\mathrm{AB}=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$k$を正の実数とする．直線$\displaystyle \ell:y=\frac{x}{\sqrt{3}}+k$は$x$軸と点$\mathrm{P}$で交わり，円$O:x^2+y^2=1$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は直線$\ell$上にこの順で並び，$\mathrm{AB}=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．