座標平面上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\mathrm{P}(-1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(1,\ 2)$とする．点$\mathrm{A}$が点$(1,\ 0)$から出発し，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円周$C$上を次のルールで動くとする．

【ルール】
\begin{itemize}
$1$個のさいころを$1$回投げて$1$回の試行とする．
$a$の目が出たら，反時計回りに$a \times {30}^\circ$回転する．
\end{itemize}

このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{PQA}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$となるような$\mathrm{A}$の座標をすべて求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQA}$が直角三角形となるような$\mathrm{A}$の座標をすべて求めよ．
(3)$2$回の試行を行う．$2$回の試行の後，三角形$\mathrm{PQA}$が直角三角形となる確率を求めよ．
(4)$3$回の試行を行う．$3$回の試行の後，三角形$\mathrm{PQA}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$となる確率を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{CD}$の$3$等分点のうち$\mathrm{C}$に近い方を$\mathrm{F}$，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{G}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{EAB}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{AGFD}$の面積を求めよ．

曲線$C_1:y=x^3$を考える．点$\mathrm{A}(-1,\ -1)$における$C_1$の接線$\ell$は，$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$で$C_1$と交わっている．このとき，以下の設問に答えよ．ただし
\[ \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+L \quad (L \text{は積分定数}) \]
である．

(1)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)実数の定数$a,\ b,\ c$に対し，曲線$C_2:y=ax^2+bx+c$を考える．$C_2$が点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通り，さらに$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との間の点$\mathrm{E}$（$\mathrm{E} \neq \mathrm{A},\ \mathrm{E} \neq \mathrm{B}$）で$C_1$と交わるとき，$c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(3)$C_2$および$\mathrm{E}$は前問と同様とし，$c$は前問の必要十分条件を満たしている．「$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_1$，「$\mathrm{E}$，$\mathrm{B}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$c$の値を求めよ．

$f(x)=x^3-3x^2-x+3$とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell$とする．ただし，$p \neq 3$とする．放物線$C:y=ax^2+bx+c$は点$(3,\ 0)$を通り，直線$\ell$と$\mathrm{P}$で接する．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p$の式で表すと，
\[ a=[セ]p,\ b=[ソ]p^2+[タ]p+[チ],\ c=[ツ]p^2+[テ] \]
である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}<p<3$とする．$C$およびその下側の部分で，$C$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とおき，$C$およびその上側の部分で，$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．このとき，
\[ S_1-S_2=\frac{25}{24}\left( [ト]p^2+[ナ]p+[ニ] \right) \]
であり，$S_1=S_2$となる$p$の値は
\[ p=\frac{[ヌ]}{[ネ]}+\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \]
である．
(3)$p=1$のとき，
\[ S_1+S_2=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．

座標平面上の点$(\alpha,\ 1) (\alpha>0)$を中心とする円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$が共に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{2}t^2 \right)$で直線$\ell$と接している．

(1)$\alpha$を$t$の式で表すと
\[ \alpha=\frac{[ク]}{[ケ]}t^3 \]
である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．

(2)$\displaystyle \alpha=\frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$である．
(3)$\ell$の方程式は
\[ y=\sqrt{[ス]}x+\frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(4)$C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は
\[ \frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]}+\frac{[テ]}{[ト]}\pi \]
である．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．

(1)$x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
\[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \]
を用いてもよい．
(3)$f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(3,\ -2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 5)$を定め，$t$を実数として，$z$軸上を動く点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ t)$をとる．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$である．
(2)線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さが等しくなるのは$t=[イ]$のときである．
(3)$\angle \mathrm{APB}$が直角となるのは$t=[ウ] \pm \sqrt{[エ]}$のときである．

(4)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積が最小となるのは$\displaystyle t=\frac{[オ][カ]}{[キ]}$のときである．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=5$である四角形$\mathrm{ABCD}$があり，この四角形は円$\mathrm{O}$に内接している．

(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{B}=-\frac{[ア]}{[イ]}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{[ウ][エ]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ][キ]} \sqrt{[ク][ケ][コ]}$である．

(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[サ] \sqrt{[シ]}$である．

(4)四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$である．

$x$を$2$より小さい実数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{4x-7}{x-2} \quad (x<2) \]
と定め，座標平面上で曲線$y=f(x)$を考える．

(1)曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描け．
(2)点$\displaystyle \left( \frac{5}{4},\ f \left( \frac{5}{4} \right) \right)$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)直線$5x-2y=a$が曲線$y=f(x)$の法線となるときの実数$a$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．