座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上に関数$f(x)=x^2-2x+2-|2x-2|$を用いて表される曲線$C:y=f(x)$がある．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．

直線$L$を$2x+y=4n$とする．ただし，$n$は自然数とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，直線$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とした三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)直線$M$を$x=k$（ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$）とするとき，直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点（$x$座標および$y$座標がともに整数である点）のうち，三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ．また，$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]

二次関数$f(x)=x^2+ax+b$に関する以下の問いに答えよ．ただし，関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．

【補足説明】$(2)$～$(5)$は，$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること．

(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき，$a=0$，$b=3$となることを示せ．
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が，$L_1:y=4x-1$，$L_2:y=-4x-1$になることを示せ．
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．また，$\alpha=\angle \mathrm{CAB}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．

(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．

$f(x),\ g(x),\ h(x)$を

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)$

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$

$h(x)=\sin x$

とおく．$3$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，$y=h(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$とする．

(1)$C_2$と$C_3$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$\alpha$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)$C_1$，$C_2$，$C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．

$3$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-2,\ 7)$を通る$2$次関数$y=f(x)$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$がある．ただし，$-2<p \leqq -1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ACP}$の面積を$p$の式で表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{ACP}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．

空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ -1)$がある．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めなさい．
(2)平面$\alpha$に垂直になるように原点$\mathrm{O}$から直線を引いたとき，平面$\alpha$との交点$\mathrm{T}$の座標を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．