「面積」について
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国立 島根大学 2015年 第3問$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
国立 島根大学 2015年 第2問$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを$3$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを$4$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第2問$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを$3$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを$4$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第3問$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
国立 島根大学 2015年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2015年 第1問平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$は
\[ 4(\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}})=\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
をみたしているとする．辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{MP}:\mathrm{NP}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$，$\mathrm{PBC}$，$\mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S,\ T,\ U$とする．面積の比$S:T$と$T:U$を求めよ．
\[ 4(\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}})=\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
をみたしているとする．辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{MP}:\mathrm{NP}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$，$\mathrm{PBC}$，$\mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S,\ T,\ U$とする．面積の比$S:T$と$T:U$を求めよ．
国立 奈良女子大学 2015年 第3問$a,\ b$を正の実数とする．$f(x)=x(x+a)(x-b)$とする．区間$-a \leqq x \leqq 0$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，区間$0 \leqq x \leqq b$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S_1$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$のとき，$a=b$となることを示せ．
(3)$S_1=S_2$のとき，$f(x)$は奇関数となることを示せ．また，$f(x)$が奇関数のとき，$S_1=S_2$となることを示せ．ただし，$f(x)$が奇関数であるとは，どのような$x$の値に対しても等式$f(-x)=-f(x)$が成り立つことである．
(1)$S_1$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$のとき，$a=b$となることを示せ．
(3)$S_1=S_2$のとき，$f(x)$は奇関数となることを示せ．また，$f(x)$が奇関数のとき，$S_1=S_2$となることを示せ．ただし，$f(x)$が奇関数であるとは，どのような$x$の値に対しても等式$f(-x)=-f(x)$が成り立つことである．
国立 奈良女子大学 2015年 第5問原点を中心とする半径$1$の円$C$と，点$\mathrm{A}(2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円$C_1$がある．円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとり，$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．
(1)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点と点$\mathrm{P}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．以下の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S$を$\theta$を用いて表せ．
(ii) $S$の最大値を求めよ．
(1)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点と点$\mathrm{P}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．以下の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S$を$\theta$を用いて表せ．
(ii) $S$の最大値を求めよ．
国立 奈良女子大学 2015年 第6問$a,\ b$を実数とする．$f(x)=x^2+ax+b$，$g(x)=x^2+bx+a$とする．$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつとする．その実数解の$1$つが$2$次方程式$g(x)=0$の$1$つの解の逆数であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とする．直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=27:8$となるとき，$a$の値を求めよ．
(1)$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とする．直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=27:8$となるとき，$a$の値を求めよ．