座標平面上に曲線$C:y=x^4-2x^2+2x$がある．直線$\ell$は$C$に異なる$2$点で接している．このとき以下の問に答えよ．ただし${(x^4)}^\prime=4x^3$および$\displaystyle \int x^4 \, dx=\frac{x^5}{5}+D$（$D$は積分定数）となることを用いてよい．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．

方程式$x^2+y^2+2kx-4ky+10k-20=0$の表す図形$C$を考える．ただし，$k$は実数とする．次の問いに答えよ．

(1)図形$C$は円であることを示せ．
(2)図形$C$は$k$がどのような値であっても定点を通る．その定点の座標を求めよ．
(3)図形$C$で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ．
(4)図形$C$と直線$y=x-2$の共有点の個数を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体を$\mathrm{OABC}$とし，$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(5)正四面体の体積$V$を求めよ．

$0 \leqq t<2\pi$とする．関数$f(x)=2x^2+(2+\sin t)x+\cos^2 t-2$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，$y=f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$t$がどのような値であっても，$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$つの共有点を持つことを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフが，$x$軸から切り取る線分の長さの最小値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数で$a \neq 1$とする．

(1)$a^x=e^{f(x)}$をみたす関数$f(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int a^x \, dx$を求めよ．
(3)$3^{|1-x|}(1+|y|) \leqq 3$をみたす実数の組$(x,\ y)$の範囲を$xy$平面上に図示せよ．
(4)$(3)$で図示された範囲の面積を求めよ．

放物線$y=x^2-2x+1$と直線$y=4$とで囲まれた図形を$D$とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)$D$の面積$S$を求めなさい．
(2)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．

$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)$を
\[ f(x)=x^3+ax+b \]
と定める．また，$f(-2)=-1$，$f^\prime(-2)=9$とする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(-2,\ -1)$における接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{A}$を通らない$\ell$に平行な$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，$\ell$および$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$m$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=(x^2-6x+8) e^{-x} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．

点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．