放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$，$q$（ただし，$p<q$）とする．直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．

方程式$y^2=x^6(1-x^2)$が表す図形で囲まれた面積を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} (x \geqq 1)$と曲線$C:y=f(x)$について，次に答えよ．

(1)区間$x>1$で，$f(x)$は増加し，曲線$C$は上に凸であることを示せ．
(2)曲線$C$の点$(\sqrt{2},\ f(\sqrt{2}))$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$と曲線$C$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)$(3)$で定めた図形$D$の面積$S$を求めよ．

直交座標の原点$\mathrm{O}$を極とし，$x$軸の正の部分を始線とする極座標$(r,\ \theta)$を考える．この極座標で表された$3$点を$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{\pi}{3} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{2 \pi}{3} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 3,\ \frac{4 \pi}{3} \right)$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の直交座標を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心と半径を求めよ．ただし，中心は直交座標で表せ．

下図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る．また，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下ろす．$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として，以下の問いに答えよ．

(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ．
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ．
（図は省略）

$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

下図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る．また，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下ろす．$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として，以下の問いに答えよ．

(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ．
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ．
（図は省略）

$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．

(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．