$n$を正の整数とする．$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi$の範囲で関数$f(x)=x \sin x$を考える．関数$f(x)$が極大値をとる$x$を$a_n$とし，曲線$y=f(x)$の変曲点を$(b_n,\ f(b_n))$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_n$と$b_n$はそれぞれ唯$1$つあって，$\displaystyle 2n \pi<b_n<2n \pi+\frac{\pi}{2}<a_n<(2n+1) \pi$を満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}(a_n-2n \pi) \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}(b_n-2n \pi) \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}f(b_n) \]
(3)曲線$y=f(x) (2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形を，$3$つの直線$x=b_n$，$\displaystyle x=2n \pi+\frac{\pi}{2}$，$x=a_n$によって$4$つの部分に分ける．その面積を左から順に$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$とするとき，$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)$の値を求めよ．
(4)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}S_1 \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}S_3 \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}(S_4-S_2) \]

四面体$\mathrm{OAPQ}$において，$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{POQ}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$とし，頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OPQ}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．ただし，$p \leqq q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．
(3)$p+q=3$，および$\triangle \mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき，以下の値を求めよ．
\[ (1) \ pq \qquad (2) \ p \qquad (3) \ \text{四面体} \mathrm{OAPQ} \text{の体積} \]

$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}=x$となるようにとる．ただし，$0<x<3$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$x$の式で表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最小となるときの$x$の値を求めよ．

$a,\ b$は定数で，$ab>0$とする．放物線$C_1:y=ax^2+b$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2+b)$における接線を$\ell$とし，放物線$C_2:y=ax^2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$S$は点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示せ．

座標空間内の$8$点
\[ (0,\ 0,\ 0),\ (1,\ 0,\ 0),\ (1,\ 1,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 0,\ 1),\ (1,\ 0,\ 1),\ (1,\ 1,\ 1),\ (0,\ 1,\ 1) \]
を頂点とする立方体を考える．$0<t<3$のとき，$3$点$(t,\ 0,\ 0)$，$(0,\ t,\ 0)$，$(0,\ 0,\ t)$を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を$f(t)$とし，$f(0)=f(3)=0$とする．関数$f(t)$について，次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq t \leqq 3$のとき，$f(t)$を$t$の式で表せ．
(2)関数$f(t)$の$0 \leqq t \leqq 3$における最大値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^3 f(t) \, dt$の値を求めよ．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，上に凸であり，原点および点$\mathrm{Q}(a,\ 0)$を通るものとする．ただし，$0<a<1$である．関数$y=x^2$のグラフを$C$，関数$y=f(x)$のグラフを$D$とし，$C$と$D$の共有点のうち，原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$m$，$D$の接線の傾きを$n$とするとき
\[ (2a-1)m=2an \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$と$a$の式で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq a$の範囲で，曲線$D$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた$S(a)$の$0<a<1$における最大値を求めよ．

平面上の三角形$\mathrm{ABC}$で，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=7$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=5$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=6$となるものを考える．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (s>0) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$s$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}$と$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|}$を$s$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{APC}$の面積が$2 \sqrt{6}$となるような$s$の値を求めよ．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，関数$f_n(x)=x^{n+1}(1-x)$を考える．

(1)曲線$y=f_n(x)$上の点$(a_n,\ f_n(a_n))$における接線が原点を通るとき，$a_n$を$n$の式で表せ．ただし，$a_n>0$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$B_n$とする．また，$(1)$で求めた$a_n$に対して，$0 \leqq x \leqq a_n$の範囲で，曲線$y=f_n(x)$，$x$軸，および直線$x=a_n$で囲まれた図形の面積を$C_n$とする．$B_n$および$C_n$を$n$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた$B_n$および$C_n$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{B_n}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$が自然対数の底$e$であることを用いてよい．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1$のとき，不等式$2 \sqrt{x}>1+\log x$が成り立つことを証明せよ．
(2)関数$y=x \log x (x>0)$のグラフを曲線$C$とする．定数$a$に対し，曲線$C$の接線で点$(a,\ 0)$を通るものは何本あるか．
(3)$(2)$で定められた曲線$C$とその傾き$2$の接線および直線$x=e^{-2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面において，次の式が表す曲線を$C$とする．
\[ x^2+4y^2=1,\quad x>0,\quad y>0 \]
$\mathrm{P}$を$C$上の点とする．$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$として，$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．