次の問いに答えなさい．

$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える．$xy$座標平面において，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．また，$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の$y$切片を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にある点の座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}+\mathrm{DA}=12$である四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．$\mathrm{CD}=x$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AC}=3 \sqrt{6}$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$の$4$辺すべてが接する円が存在するとき，$x$の値を求めよ．

双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2=1$に対し，双曲線上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ．
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ．
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする．双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める．ただし，$d>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ -2)$，$\mathrm{C}(5,\ 0)$があった．

(1)直線$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{C}$の距離を求めると$[チ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めると$[ツ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めると$[テ]$である．

放物線$C:y=-x^2+ax$（$a$は正の定数）と直線$\ell:y=mx+n$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$0<\alpha<\beta<2a$を満たしている．$x=0$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_1$，$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_2$，$x=2a$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_3$とする．このとき，
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする．以下の各設問に答えよ．

(1)$T_2=T_1+T_3$から，$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [　]=0 \]
が成り立つ（もっとも簡潔な式で書くこと）．
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[　]$を通る．この定点を$a$を用いて表せ．
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[　]$のときであり，そのとき$T_2$の値は$[　]$である．
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[　]a,\quad \beta=[　]a \]
である．

次の各問の$[　]$に当てはまる数を入れよ．

(1)$100$以下の自然数で，$2$と$5$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$個である．
同様に$100$以下の自然数で，$2$と$3$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$である．
(2)曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える．曲線$C$の接線で，点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，$[　]$であり，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は，$[　]$である．
(3)$1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし，$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり，四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える．$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，体積が最大となるのは，
\[ x=[　],\quad y=[　] \]
のときである．

関数$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+14x+13$について考える．

(1)$a,\ b,\ c$が$a<b<c$を満たす定数で，関数$y=f(x)$は$x=a$と$x=c$のとき極小値をとり，$x=b$のとき極大値をとる．このとき，$a^2+b^2+c^2=[ア][イ]$である．
(2)直線$y=2x+4$を$\ell$とし，直線$\ell$に平行な直線$y=2x+p$を$m$とする．ただし，$p$は定数である．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$は異なる$2$点で接している．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$m$が異なる$3$個の共有点をもつとき，$p=[ウ][エ]$である．
また，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\alpha<\beta<\gamma$を満たす定数で，曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の異なる$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \gamma$とし，曲線$y=f(x)$と直線$m$の接点の$x$座標を$\beta$とする．直線$m$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と曲線$y=f(x)$，および直線$x=\alpha$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．

次の各問の$[　]$に当てはまる数を入れよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の内点$\mathrm{O}$をとる．$\mathrm{AO}$，$\mathrm{BO}$，$\mathrm{CO}$をそれぞれ辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$までのばしたときの各交点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．ここで，三角形$\triangle \mathrm{ABO}$，$\triangle \mathrm{ACO}$，$\triangle \mathrm{BCO}$の面積が，それぞれ$\triangle \mathrm{ABO}=c$，$\triangle \mathrm{ACO}=b$，$\triangle \mathrm{BCO}=a$とする．

(1)$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$から$\ell$への垂線の長さを$6$，$\mathrm{O}$から$\ell$への垂線の長さを$3$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}=[ア]$，$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{ABO}}{\triangle \mathrm{BDO}}=[イ]$である．

(2)上の$(1)$とは異なる三角形$\mathrm{ABC}$について，$a=8$，$b=10$，$c=6$とする．
$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{CDO}}{\triangle \mathrm{BDO}}=\frac{[ウ]}{[エ]}$だから，$\triangle \mathrm{BDO}$の面積は，$[オ]$であり，$\triangle \mathrm{CDO}$の面積は，$[カ]$である．
(3)同様にして，$\displaystyle \triangle \mathrm{CEO}=\frac{[キ][ク]}{[ケ]}$，$\displaystyle \triangle \mathrm{AEO}=\frac{[コ][サ]}{[シ]}$，$\displaystyle \triangle \mathrm{AFO}=\frac{[ス][セ]}{[ソ]}$，$\displaystyle \triangle \mathrm{BFO}=\frac{[タ]}{[チ]}$となり，特に


$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{AFO}}{\triangle \mathrm{BFO}} \cdot \frac{\triangle \mathrm{BDO}}{\triangle \mathrm{CDO}} \cdot \frac{\triangle \mathrm{CEO}}{\triangle \mathrm{AEO}}=[ツ]$

$\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \cdot \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{EO}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{FO}}=\frac{[テ][ト]}{[ナ]}$


である．

三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$18$で，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とするとき
\[ a \cos B=5,\quad b \sin A=12 \]
が成り立つとする．

(1)$a,\ b,\ c$を求めよ．
(2)$\cos A$の値を求めよ．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線を$L$とする．ただし，$t$は正の実数とする．

(1)$L$の方程式を求めよ．
(2)$L$と$C$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$t$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値と，最小値を与える$t$の値を求めよ．