放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(b,\ b^2) (a<b)$を考える．$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$から$x$軸に下ろした垂線と$C$との交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{MQH}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$を考える．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を示し，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面に点$\mathrm{C}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は実数$s,\ t$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．$s,\ t$の値を求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積を求めよ．

関数$f(x)=x^2-1$と$g(x)=2a-f(x)$がある．ただし，$a$は定数とする．

(1)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解を持ち，かつ，それらが$-1$より大きいとき，$a$の値の範囲を求めよ．また，このとき，方程式$f(x)-g(x)=0$の解を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとし，座標平面上に$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフがあるとする．

\mon[$(2$-$1)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$2)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点のうち，$x$座標が負である共有点を$\mathrm{P}$とする．このとき，直線$x=-1$，$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$y=f(x)$のグラフ，および，$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$3)$] 面積の和$S=S_1+S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$4)$] $(1)$で求めた範囲内で$a$を変化させたとき，$S$の最小値とその最小値を与える$a$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，図のように辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$となるようにとる．以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$r$とし，$\triangle \mathrm{ADC}$の内接円の中心を$\mathrm{O}^\prime$，半径を$r^\prime$とする．

\mon[$(5$-$1)$] $r$と$r^\prime$の値を求めよ．
\mon[$(5$-$2)$] 線分$\mathrm{OO}^\prime$の長さを$L$とする．$L^2$の値を求めよ．

直線$\ell$と$m$が

直線$\ell$：$y=2x$
直線$m$：点$(2,\ 2)$を通る傾き$a$の直線（ただし，$a<0$）

と与えられているとき，以下の問題に答えよ．

(1)直線$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{A}$としたとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)直線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$としたとき，点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$としたとき，三角形$\mathrm{AOB}$の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の値が$\displaystyle \frac{9}{2}$のとき直線$m$の傾き$a$の値を求めよ．

一辺の長さ$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．まず辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$を決め，辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$上の点$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{DA}$上の点$\mathrm{H}$を「四角形$\mathrm{EFGH}$が長方形になる」ようにとる．線分$\mathrm{BE}$の長さを$x (0<x<1)$とおき，以下の設問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{BF}$の長さを$x$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{FCG}$の面積を$x$で表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は，$7 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{D}$が同一直線上にあることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PBD}$と$\triangle \mathrm{PCA}$の面積の比を求めよ．

$2$つの曲線$y=e^x$と$y=a \sqrt{x}$の共有点が$1$個であるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a$と共有点の座標を求めよ．
(2)この$2$つの曲線と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフと接する$2$本の直線$\ell_1$，$\ell_2$が第$2$象限で交わっている．実数$a,\ b$は$a>0$，$b<0$とし直線$\ell_1$は点$(a,\ 0)$を通り，直線$\ell_2$は点$(b,\ 0)$を通る．点$\mathrm{A}$は直線$\ell_1$と$x$軸の交点，点$\mathrm{B}$は直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点，点$\mathrm{C}$は直線$\ell_2$と$y$軸の交点とする．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$\displaystyle t=\frac{a}{b}$の関数で，
\[ S=\frac{[テ](t+[ト])t}{t+[ナ]} \]
となり，面積$S$は$t=[ニ]-\sqrt{[ヌ]}$で最小値をとる．