$2$次関数$f(x)=x^2+2x+2,\ g(x)=x^2-2x+4,\ h(x)=2x^2$について次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と$y=h(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)連立不等式$y \leqq f(x)$，$y \leqq g(x)$，$y \geqq h(x)$の表す領域を$D$とする．$D$の面積を$a+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}$（ただし，$a,\ b,\ c$は有理数）とするとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．

連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
0 \leqq y \leqq 1 & & \cdots\cdots① \\
\log_{\frac{1}{2}}(2x^2+3x-2) \geqq \log_{\frac{1}{2}}(x^2+2x) & & \cdots\cdots② \\
y^2 \leqq 2x-1 & & \cdots\cdots③ \\
4x+y-3 \geqq 0 & & \cdots\cdots④
\end{array} \right. \]
が表す領域$D$を考える．

(1)$②$の解は，$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x \leqq [　]$である．
(2)放物線$y^2=2x-1$と直線$4x+y-3=0$の$2$交点のうち，$y$座標が正となる交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(3)領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$

である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[　]}{[　]}$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として，$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$，$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている．

(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[　] \sqrt{[　]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[　]}{\sqrt{[　]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[　]+\pi^2} \left( e^{[　]}-[　] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[　]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[　]$，$b=[　]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．

下図のように，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円を$\mathrm{O}$，その接点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{[　]}$，円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積は$\displaystyle \frac{[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．
（図は省略）

放物線$y=x^2+1$を$C_1$，放物線$y=-x^2+6x-8$を$C_2$として次の問いに答えよ．

(1)点$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ [　] \right)$に関して，$C_1$と$C_2$は対称である．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する$2$つの接線のうち，$x$軸と交わらない方を$\ell_1$，$x$軸と交わる方を$\ell_2$とすると，$\ell_1$の方程式は$y=[　]$，$\ell_2$の方程式は$y=[　] x-[　]$である．
(3)$C_1$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{A}=120^\circ$とする．また，各辺の長さを$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$としたとき，$2$次方程式$kx^2-4x+1=0$の解が$b,\ c$であるという．ただし，$k$は正の実数とする．次の問に答えよ．

(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．

正の定数$k$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{x^3}{3}$の接線で傾きが$k^2$のものを$\ell_1,\ \ell_2$とする．$C$と$\ell_1,\ \ell_2$の接点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ，第$1$，第$3$象限にあるとする．また，$C$と$\ell_1$との共有点のうち，$\mathrm{P}$でないものを$\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$k$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた図形の面積$T$を$k$で表せ．
(3)$(2)$で求めた$T$が，$T<1$をみたすような$k$の値の範囲を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{A}=120^\circ$とする．また，各辺の長さを$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$としたとき，$2$次方程式$kx^2-4x+1=0$の解が$b,\ c$であるという．ただし，$k$は正の実数とする．次の問に答えよ．

(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．

平面上に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 1)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$，$\mathrm{D}(1,\ 4)$をとる．また$a>0$とし，$y=a^2x^2$で定まる放物線を$T$とする．ただし，$T$は辺$\mathrm{CD}$と交点をもつものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の範囲を求めよ．
(2)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$を$2$つに分割するとき，$T$よりも右側にある部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の関数で表せ．
(3)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$2$等分するときの$a$の値を求めよ．