「面積」について
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私立 北星学園大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{C}$が$90^\circ$のとき，$\sin^2 A+\sin^2 B=1$であることを示せ．
(2)$\sin B=2 \sin A \cos C$，$a:b=1:\sqrt{3}$，$c=3$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{C}$が$90^\circ$のとき，$\sin^2 A+\sin^2 B=1$であることを示せ．
(2)$\sin B=2 \sin A \cos C$，$a:b=1:\sqrt{3}$，$c=3$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 愛知工業大学 2010年 第3問$f(x)=8x-x^2$とする．
(1)$\displaystyle \frac{f(4)-f(2)}{2}=f^\prime(c)$をみたす$c$を求めよ．
(2)$xy$平面において，$(1)$で求めた$c$について，点$(c,\ f(c))$における曲線$y=f(x)$の接線，曲線$y=f(x)$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{f(4)-f(2)}{2}=f^\prime(c)$をみたす$c$を求めよ．
(2)$xy$平面において，$(1)$で求めた$c$について，点$(c,\ f(c))$における曲線$y=f(x)$の接線，曲線$y=f(x)$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 北海道科学大学 2010年 第10問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=4$，$A=120^\circ$であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，この三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 北海道科学大学 2010年 第11問図の直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AD}=2,\quad \mathrm{AE}=1 \]
とし，$\angle \mathrm{DEB}=\theta$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BD},\ \mathrm{DE},\ \mathrm{EB}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BDE}$におろした垂線の長さを求めよ．
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AD}=2,\quad \mathrm{AE}=1 \]
とし，$\angle \mathrm{DEB}=\theta$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BD},\ \mathrm{DE},\ \mathrm{EB}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BDE}$におろした垂線の長さを求めよ．
私立 東北工業大学 2010年 第4問$2$次関数$f(x)=x^2-6x-2$がある．
(1)関数$f(x)$の極小値は$-[ ]$である．
(2)直線$\ell:y=-2x+b$と$y=f(x)$のグラフは，点$\mathrm{P}$で接している．このとき点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[ ]$，$y$座標は$-[ ]$であり，$b=-[ ]$となる．
(3)$y$軸と$y=f(x)$のグラフおよび直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$は$\displaystyle S=\frac{[ ]}{3}$である．
(1)関数$f(x)$の極小値は$-[ ]$である．
(2)直線$\ell:y=-2x+b$と$y=f(x)$のグラフは，点$\mathrm{P}$で接している．このとき点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[ ]$，$y$座標は$-[ ]$であり，$b=-[ ]$となる．
(3)$y$軸と$y=f(x)$のグラフおよび直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$は$\displaystyle S=\frac{[ ]}{3}$である．
私立 日本女子大学 2010年 第1問図のように，$4$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=10$の四角形$\mathrm{ABCD}$が円$\mathrm{O}$に内接するものとする．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
私立 愛知工業大学 2010年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[ ]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[ ]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[ ]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[ ]$である．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[ ]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[ ]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[ ]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[ ]$である．
私立 愛知工業大学 2010年 第4問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[ ]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[ ] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[ ] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[ ]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[ ]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[ ]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[ ]$円である．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[ ]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[ ] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[ ] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[ ]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[ ]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[ ]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[ ]$円である．
私立 中京大学 2010年 第2問以下の$[ ]$にあてはまる数値または記号を求めよ．
(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
4x^2-100x<51 \\
|2x-5|+|6x-1|>15
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}<x<\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x-4y+5z=9 \\
5x+2y-3z=5 \\
2x+6y-z=-7
\end{array} \right.$の解は
\[ x=\frac{[ ]}{[ ]},\quad y=-\frac{[ ]}{[ ]},\quad z=-\frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
(3)四辺形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=\sqrt{14}$，$\angle \mathrm{ABC}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ADC}=90^\circ$をみたすとき，$\mathrm{AC}=[ ] \sqrt{[ ]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[ ]}$，四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$=[ ]+[ ] \sqrt{[ ]}$であり，点$\mathrm{D}$を通る直線が辺$\mathrm{BC}$と垂直に交わる点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{DE}=[ ]+\sqrt{[ ]}$である．
(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
4x^2-100x<51 \\
|2x-5|+|6x-1|>15
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}<x<\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x-4y+5z=9 \\
5x+2y-3z=5 \\
2x+6y-z=-7
\end{array} \right.$の解は
\[ x=\frac{[ ]}{[ ]},\quad y=-\frac{[ ]}{[ ]},\quad z=-\frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
(3)四辺形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=\sqrt{14}$，$\angle \mathrm{ABC}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ADC}=90^\circ$をみたすとき，$\mathrm{AC}=[ ] \sqrt{[ ]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[ ]}$，四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$=[ ]+[ ] \sqrt{[ ]}$であり，点$\mathrm{D}$を通る直線が辺$\mathrm{BC}$と垂直に交わる点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{DE}=[ ]+\sqrt{[ ]}$である．
私立 東北工業大学 2010年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$があり，その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さはそれぞれ$9,\ 6,\ 5$とする．また，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上にはそれぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さはすべて等しく，その値が$a$であるとする．このとき，
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[ ]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[ ]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{2}}{3}$になる．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[ ]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[ ]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{2}}{3}$になる．