「面積」について
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私立 西南学院大学 2010年 第5問曲線$C:y=x |x-1|$と，直線$\ell:y=kx$に関して，次の問に答えよ．ただし，$k$は実数の定数とする．
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$と直線$\ell$が$x>0$で$2$つの交点を持つような$k$の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，$C$と$\ell$によって囲まれる図形全体の面積を最小にする$k$の値を求めよ．
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$と直線$\ell$が$x>0$で$2$つの交点を持つような$k$の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，$C$と$\ell$によって囲まれる図形全体の面積を最小にする$k$の値を求めよ．
私立 西南学院大学 2010年 第5問$xy$平面上の$3$点$(0,\ -13)$，$(1,\ -6)$，$(3,\ 2)$を通る$2$次関数のグラフ$y=f(x)$があり，これと$x$軸で囲まれた部分の中に存在する平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．ここで，平行四辺形の辺$\mathrm{AB}$は$x$軸上にあり，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$は$2$次関数のグラフ上にある．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さく，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$4$より大きいものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)上の条件を満たす$f(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$x$座標を$t$とするとき，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(1)上の条件を満たす$f(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$x$座標を$t$とするとき，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値を求めよ．
私立 学習院大学 2010年 第3問平面上で連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \leqq 16 \\
y \geqq 4x^2 \\
y \geqq -x^2+2x+3
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の表す領域の面積を求めよ．
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \leqq 16 \\
y \geqq 4x^2 \\
y \geqq -x^2+2x+3
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の表す領域の面積を求めよ．
私立 学習院大学 2010年 第2問第一象限内にあって$2$つの曲線
\[ y=x^2-1,\quad x^2+y^2+2 \sqrt{3}y-1=0 \]
と$2$つの直線
\[ y=3,\quad x=0 \]
とで囲まれる図形を$D$とする．
(1)$D$の面積を求めよ．
(2)$D$を$y$軸に関して$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
\[ y=x^2-1,\quad x^2+y^2+2 \sqrt{3}y-1=0 \]
と$2$つの直線
\[ y=3,\quad x=0 \]
とで囲まれる図形を$D$とする．
(1)$D$の面積を求めよ．
(2)$D$を$y$軸に関して$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
私立 北海道文教大学 2010年 第5問下の図において，円$\mathrm{O}$の直径$\mathrm{AB}$と弦$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{PC}=2$，$\mathrm{PD}=3$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ODC}$の面積を求めなさい．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ODC}$の面積を求めなさい．
（図は省略）
私立 広島国際学院大学 2010年 第2問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，その面積$S$は$12 \sqrt{5}$に等しく，また$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$c=9$である．ここで$c$は辺$\mathrm{AB}$の長さであり，$A=\angle \mathrm{BAC}$である．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さ$b$を求めなさい．
(2)辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$を求めなさい．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さ$b$を求めなさい．
(2)辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$を求めなさい．
私立 北海道薬科大学 2010年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{4}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}$を計算すると$[ ]$となる．
(2)$3^{2x}-2 \times 3^{x+2}=-81$を解くと，$x=[ ]$となる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\ 3)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-4,\ 5)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=([ ],\ [ ])$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(4)$3$つの直線$ax+y=1$，$x+2y=3$，$x-ay=-3$が一点で交わるとき，定数$a$の値は
\[ [ ] \text{または} \frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
(1)$\displaystyle \frac{4}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}$を計算すると$[ ]$となる．
(2)$3^{2x}-2 \times 3^{x+2}=-81$を解くと，$x=[ ]$となる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\ 3)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-4,\ 5)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=([ ],\ [ ])$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(4)$3$つの直線$ax+y=1$，$x+2y=3$，$x-ay=-3$が一点で交わるとき，定数$a$の値は
\[ [ ] \text{または} \frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
私立 藤田保健衛生大学 2010年 第2問円$\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3,\ \cdots$があり，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
(i) $\mathrm{O}_n$の中心の座標は$(x_n,\ 0)$であり，$x_n>x_{n+1}$である．
(ii) $\mathrm{O}_n$と$\mathrm{O}_{n+1}$は外接している．
(iii) $\mathrm{O}_n$は原点を端点とする$2$本の半直線$\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x (x \geqq 0)$に接しているとする．
このとき
(1)$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$x_n$で表すと$r_n=[ ]$である．
(2)$x_n$を$x_1$と$n$で表すと$x_n=[ ]$である．
(3)$x_1=4$とする．$\mathrm{O}_1$から$\mathrm{O}_m$までの面積の和を$S_m$とすると$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[ ]$である．
(i) $\mathrm{O}_n$の中心の座標は$(x_n,\ 0)$であり，$x_n>x_{n+1}$である．
(ii) $\mathrm{O}_n$と$\mathrm{O}_{n+1}$は外接している．
(iii) $\mathrm{O}_n$は原点を端点とする$2$本の半直線$\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x (x \geqq 0)$に接しているとする．
このとき
(1)$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$x_n$で表すと$r_n=[ ]$である．
(2)$x_n$を$x_1$と$n$で表すと$x_n=[ ]$である．
(3)$x_1=4$とする．$\mathrm{O}_1$から$\mathrm{O}_m$までの面積の和を$S_m$とすると$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[ ]$である．
私立 北海道薬科大学 2010年 第3問$x^2+y^2-6ax+4ay+19a^2-a-1=0$（$a$は定数）は円を表すものとする．
(1)$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}<a<\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)この円の面積が最大となるとき，円の中心座標は$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[ ]},\ \frac{[ ]}{[ ]} \right)$であり，最大面積は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]} \pi$となる．
このとき，座標$\displaystyle \left( -\frac{1}{3},\ 1 \right)$を通り，円の面積を二等分する直線の方程式は
\[ y=-[ ] x+\frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
(1)$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}<a<\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)この円の面積が最大となるとき，円の中心座標は$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[ ]},\ \frac{[ ]}{[ ]} \right)$であり，最大面積は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]} \pi$となる．
このとき，座標$\displaystyle \left( -\frac{1}{3},\ 1 \right)$を通り，円の面積を二等分する直線の方程式は
\[ y=-[ ] x+\frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
私立 北海道薬科大学 2010年 第4問放物線$C:y=x^2-6x+a$（$a$は正の実数）は，$x$軸と，異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるものとする．$x$座標の値の小さい方を$\mathrm{A}$とする．また
$C$と$x$軸および$y$軸の$3$つで囲まれた部分の面積を$S_1$
$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$
$C$と$x$軸および直線$x=6$の$3$つで囲まれた部分の面積を$S_3$
とする．
(1)$a$の取り得る値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である．
(2)$S_1+S_3=S_2$となるのは$a=[ ]$のときである．
(3)$(2)$が成り立つとき
$\mathrm{A}$の$x$座標は$[ ]-\sqrt{[ ]}$
$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ ]+\sqrt{[ ]}$
であり，$S_1+S_3$の値は$[ ] \sqrt{[ ]}$である．
$C$と$x$軸および$y$軸の$3$つで囲まれた部分の面積を$S_1$
$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$
$C$と$x$軸および直線$x=6$の$3$つで囲まれた部分の面積を$S_3$
とする．
(1)$a$の取り得る値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である．
(2)$S_1+S_3=S_2$となるのは$a=[ ]$のときである．
(3)$(2)$が成り立つとき
$\mathrm{A}$の$x$座標は$[ ]-\sqrt{[ ]}$
$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ ]+\sqrt{[ ]}$
であり，$S_1+S_3$の値は$[ ] \sqrt{[ ]}$である．