「面積」について
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私立 龍谷大学 2010年 第3問$x>0$の範囲で，関数
\[ f(x)=\frac{3}{x^2}-\frac{4}{x}+1 \]
を考える．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を求めなさい．
(2)$f(x)$の増減を調べなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
\[ f(x)=\frac{3}{x^2}-\frac{4}{x}+1 \]
を考える．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を求めなさい．
(2)$f(x)$の増減を調べなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．
(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．
私立 南山大学 2010年 第2問$a$を正の実数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(1,\ a)$における$C$の接線と$\mathrm{P}$で垂直に交わる直線を$\ell$とする．$x \geqq 0$の領域で，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$x$軸，$C$および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$S_1$を$a$で表せ．
(3)$S_1$が最小値をとるとき，$S_2$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$S_1$を$a$で表せ．
(3)$S_1$が最小値をとるとき，$S_2$の値を求めよ．
私立 南山大学 2010年 第2問$a>0$のとき，座標平面上に曲線$C:y=x^2-x$と点$\mathrm{A}(a,\ -3a^2-a)$を考える．$\mathrm{A}$を通る$2$つの$C$の接線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．ただし，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とする．
(1)座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．
(4)$(1)$の$S_1$と$(3)$の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．
(1)座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．
(4)$(1)$の$S_1$と$(3)$の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．
私立 南山大学 2010年 第2問$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．
(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．
(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が，解$1+bi$（$b$は正の実数）をもつとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$，$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である．
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$，点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である．
(5)整式$f(x)$が，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$（$a$は実数）を満たすとき，$a=[ケ]$，$f(x)=[コ]$である．
(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が，解$1+bi$（$b$は正の実数）をもつとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$，$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である．
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$，点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である．
(5)整式$f(x)$が，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$（$a$は実数）を満たすとき，$a=[ケ]$，$f(x)=[コ]$である．
私立 南山大学 2010年 第2問座標平面上に曲線$C:y=e^{-x}$があり，$C$上に点$\mathrm{P}(a,\ e^{-a})$がある．ただし$a \geqq 0$とする．
(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$a \geqq 0$における$(2)$の$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$a \geqq 0$における$(2)$の$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
私立 南山大学 2010年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標は，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$である．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{P}$があり，実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき，$s,\ t$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)$(2)$のとき，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき，$s,\ t$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)$(2)$のとき，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．
私立 西南学院大学 2010年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=7:5:3$とする．次の問に答えよ．
(1)$A,\ B,\ C$のうち最大の角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$60 \sqrt{3}$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[チツ]$である．また，この三角形の内接円の面積は$[テト]\pi$である．
(1)$A,\ B,\ C$のうち最大の角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$60 \sqrt{3}$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[チツ]$である．また，この三角形の内接円の面積は$[テト]\pi$である．