「面積」について
タグ「面積」の検索結果
（227ページ目：全2409問中2261問～2270問を表示）
国立 鹿児島大学 2010年 第4問$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2010年 第1問$c$を定数とし，関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=-x+c,\ g(x)=-x^2+2x+3$と定める．また，直線$y=f(x)$は放物線$y=g(x)$の接線であるとする．
(1)$c$の値を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$，放物線$y=g(x)$，および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$c$の値を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$，放物線$y=g(x)$，および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2010年 第1問自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a$，一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$ \\
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．
国立 小樽商科大学 2010年 第2問$a$を実数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)不等式$y \leqq x^2-4ax+3a^2,\ 0 \leqq x \leqq 1,\ y \geqq 0$を満たす領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)面積$S$を最小にする$a$の値を求めよ．
(1)不等式$y \leqq x^2-4ax+3a^2,\ 0 \leqq x \leqq 1,\ y \geqq 0$を満たす領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)面積$S$を最小にする$a$の値を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2010年 第2問関数$f(t)=\sin^2 t+2x \cos t$の$t$に関する最大値$M(x)$を$x$の関数とする．
(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．
(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．
国立 長岡技術科学大学 2010年 第3問曲線$C:y=e^{-\frac{1}{2}x^2}$について以下の問いに答えなさい．
(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい．
(2)(1)の接線と$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．$t>0$の範囲で$t$が動くとき，$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい．
(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい．
(2)(1)の接線と$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．$t>0$の範囲で$t$が動くとき，$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい．
国立 滋賀大学 2010年 第4問放物線$C_1:y=x^2,\ C_2:y=x^2-4x+4$がある．$0<a<2$のとき，$C_1$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．$C_1$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C_2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形のうち$\ell$より上側の部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(2)$1<a<2$のとき，$C_1$と$\ell$で囲まれた図形のうち$C_2$より上側の部分の面積を$S_3$とする．$S_3=2S_2$となる$a$の値を求めよ．
(1)$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(2)$1<a<2$のとき，$C_1$と$\ell$で囲まれた図形のうち$C_2$より上側の部分の面積を$S_3$とする．$S_3=2S_2$となる$a$の値を求めよ．
国立 京都教育大学 2010年 第5問太郎君は関数$f(x)$を$x$について微分して導関数$f^\prime(x)=6x+6$を得た．次の(1)，(2)に答えよ．
(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数$f(x)$を求めよ．
\mon[(a)] $y=f(x)$が表す曲線と直線$y=2$が接する場合．
\mon[(b)] $y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}$になる場合．
(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の$①$から$⑤$の付加条件を1つだけ加えて元の関数$f(x)$を求めることにした．
\begin{screen}
{\bf 付加条件}
\mon[$①$] $f(0)=3$
\mon[$②$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(2)-F(1)=7$
\mon[$③$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(0)=0$
\mon[$④$] $f^\prime(0)=f(1)$
\mon[$⑤$] $f^\prime(-1)=0$
\end{screen}
元の関数$f(x)$を求めることが{\bf できない}付加条件を$①$から$⑤$の中から選んで，その番号を全てかけ．
(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数$f(x)$を求めよ．
\mon[(a)] $y=f(x)$が表す曲線と直線$y=2$が接する場合．
\mon[(b)] $y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}$になる場合．
(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の$①$から$⑤$の付加条件を1つだけ加えて元の関数$f(x)$を求めることにした．
\begin{screen}
{\bf 付加条件}
\mon[$①$] $f(0)=3$
\mon[$②$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(2)-F(1)=7$
\mon[$③$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(0)=0$
\mon[$④$] $f^\prime(0)=f(1)$
\mon[$⑤$] $f^\prime(-1)=0$
\end{screen}
元の関数$f(x)$を求めることが{\bf できない}付加条件を$①$から$⑤$の中から選んで，その番号を全てかけ．
国立 千葉大学 2010年 第7問$\triangle \mathrm{ABC}$は，1辺の長さが1の正三角形で，$t$は正の実数とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．直線$\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t \overrightarrow{c}$をみたしている．正三角形$\triangle \mathrm{ADE}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．