「面積」について
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国立 新潟大学 2010年 第2問座標平面上の放物線$y=(x+1)(x-3)$を$C$とする．$x$座標が$p,\ q$である$C$上の点P，Qにおける$C$の2つの接線が点A$(a,\ -7)$で交わり，2点P，Qを通る直線の傾きは2である．ただし，$p<q$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値と点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$C$および3つの直線$x=p,\ x=q,\ y=-7$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$a$の値と点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$C$および3つの直線$x=p,\ x=q,\ y=-7$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第3問$2$つの関数$f(x)=x^3-6x^2+9x,\ g(x)=x^3-3x^2+3x-1$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$および$g(x)$の増減を調べ，曲線$y=f(x)$および$y=g(x)$を図示せよ．
(2)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)(2)で面積を求めた図形と直線$y=4x+k$が共有点を持つとき，$k$の最小値を求めよ．
(1)関数$f(x)$および$g(x)$の増減を調べ，曲線$y=f(x)$および$y=g(x)$を図示せよ．
(2)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)(2)で面積を求めた図形と直線$y=4x+k$が共有点を持つとき，$k$の最小値を求めよ．
国立 九州工業大学 2010年 第3問次に答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$\displaystyle \sin^2 x=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right)$を解け．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と曲線$\displaystyle y=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$\displaystyle \sin^2 x=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right)$を解け．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と曲線$\displaystyle y=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 九州工業大学 2010年 第4問次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．
(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．
(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第3問$a,\ b$は$a<b$を満たす実数とする．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$においてそれぞれ接線を引く．この$2$つの接線の交点を$\mathrm{P}(p,\ q)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たしながらこの放物線上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めなさい．
(3)(2)の条件の下で，この放物線と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を$q$を用いて表しなさい．
(1)$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たしながらこの放物線上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めなさい．
(3)(2)の条件の下で，この放物線と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を$q$を用いて表しなさい．
国立 琉球大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$t$を実数とする．放物線$y=x(2-x)$上の点$(t,\ t(2-t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線と放物線$y=x(2-x)$および2直線$x=0,\ x=3$とで囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．$0 \leqq t \leqq 2$における$S(t)$の最大値，最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$t$を実数とする．放物線$y=x(2-x)$上の点$(t,\ t(2-t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線と放物線$y=x(2-x)$および2直線$x=0,\ x=3$とで囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．$0 \leqq t \leqq 2$における$S(t)$の最大値，最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第4問$xy$平面上に
\[ |ye^{2x|-6e^{x}-8} =-(e^x-2)(e^x-4) \]
で定まる曲線がある．この曲線によって囲まれる図形の面積$K$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
\[ |ye^{2x|-6e^{x}-8} =-(e^x-2)(e^x-4) \]
で定まる曲線がある．この曲線によって囲まれる図形の面積$K$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 山梨大学 2010年 第4問関数$f(x)=(x^2+2x+a)e^{x+2}$が極大値と極小値をともに持つとし，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)極大値を$M$，極小値を$m$とするとき，$M \cdot m=-4$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき，関数$y=f(x)$の$y \leqq 0$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)極大値を$M$，極小値を$m$とするとき，$M \cdot m=-4$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき，関数$y=f(x)$の$y \leqq 0$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．